Application : le théorème d'Al-Kashi

I. Le principe

II. Le théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle ABC, on a :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \times \cos(\widehat{A})$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \times \cos(\widehat{B})$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \times \cos(\widehat{C})$

Démonstration

On utilise la formule du produit scalaire pour exprimer la relation entre les côtés d'un triangle :

$||\overrightarrow{BC}||^2 = ||\overrightarrow{AB}||^2 + ||\overrightarrow{AC}||^2 - 2 \times ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

Or, d’après la définition du produit scalaire :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

Donc : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

Utilisons maintenant la formule du produit scalaire en fonction des normes :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{||\overrightarrow{AB}||^2 + ||\overrightarrow{AC}||^2 - ||\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}||^2}{2}$.

Or, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$, donc :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{||\overrightarrow{AB}||^2 + ||\overrightarrow{AC}||^2 - ||\overrightarrow{CB}||^2}{2}$.

En remplaçant par les longueurs :

$AB \times AC \times \cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}$.

D'où :

$2 AB \times AC \times \cos(\widehat{A}) = AB^2 + AC^2 - BC^2$.

Ce qui donne :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{A})$.

En généralisant pour les autres côtés du triangle, on retrouve :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \times \cos(\widehat{A})$.

III. Un exemple

Soit un triangle ABC tel que : $AB = 8$, $AC = 4$ et $\widehat{BAC} = 50^\circ$.

Calculer $BC$.

Solution :

On calcule la longueur $BC$ en utilisant le théorème d'Al-Kashi appelé également loi des cosinus :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.

Substituons les valeurs :

$BC^2 = 64 + 16 - 2 \times 8 \times 4 \times \cos 50^\circ$.

Ce qui donne : $BC^2 = 80 - 64 \times \cos 50^\circ \approx 38.86$.

Donc : $BC \approx 6.23$.