Produit scalaire et projection orthogonale

I. Expression du produit scalaire pour deux vecteurs colinéaires de même sens

Démonstration :

Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$.

On rappelle que : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{AB, AC})$.

En appliquant les formules de trigonométrie dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$, on obtient :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \dfrac{AH}{AC}$.

Ainsi, on simplifie : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$.

II. Expression du produit scalaire pour deux vecteurs colinéaires de sens contraire

Démonstration :

On rappelle que : $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$.

On a : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{AB, AC})$.

Or, $\cos(\widehat{AB, AC}) = \cos(\alpha)$, donc : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\alpha)$.

D'après la propriété trigonométrique : $\cos(\alpha) = -\cos(\pi - \alpha)$, donc : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times (-\cos(\pi - \alpha))$.

En appliquant les formules trigonométriques dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$, on obtient :

$\cos(\pi - \alpha) = \dfrac{AH}{AC}$.

Ainsi : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \left(- \dfrac{AH}{AC} \right)$.

En simplifiant : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AH$.

III. Exemple

On donne un carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté $4$.

Evaluer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{CD}$/.

Solution :

Dans le carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté $4$, on a :

$\bullet\quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AB = 16$ car le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$ est le point $B$ et les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens.

$\bullet\quad \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AO} = -\dfrac{1}{2} CD \times CD = -8$ car les projetés orthogonaux des points $O$ et $A$ sur la droite $(CD)$ sont le milieu $H$ du segment $[CD]$ et le point $D$.

Par suite, les vecteurs $\overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont de sens contraires.