Application : transformer des expressions et ensemble de points

I. Transformation d’une expression

Propriété

Étant donné deux points $A$ et $B$ et leur milieu $I$, on a :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{1}{4} AB^2$

Démonstration

Soient $A$ et $B$ deux points et $I$ le milieu de $[AB]$ :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})$.

Or, comme $I$ est le milieu, on a : $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$.

Donc : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA})$.

En développant : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = ||\overrightarrow{MI}||^2 - ||\overrightarrow{IA}||^2$.

Or, $IA = \dfrac{AB}{2}$, donc : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$.

Un exemple

Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2$, où $A$ et $B$ sont tels que $AB = 8$.

Solution :

L’équation donnée s’écrit : $MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = 2$.

Ce qui donne : $MI^2 = 2+16$.

Donc : $MI^2 = 18$.

L’ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $I$ (le milieu de $[AB]$) et de rayon $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

II. Cercle

Propriété

Étant donné deux points $A$ et $B$, l’ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

Démonstration

On a : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad MI = IA$.

Ce qui signifie que les points $M$ sont situés sur le cercle de centre $I$ et de rayon $IA = \dfrac{AB}{2}$.

III. Des applications

Dans chaque cas, déterminons l'ensemble des points $M$ vérifiant l'égalité :

a) $MA-MB=0$
$\Longleftrightarrow MA=MB$
L'ensemble des points $M$ forme la médiatrice de $[AB]$

b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=0$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AM}$
L'ensemble des points $M$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$

c) $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 ;.$
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow M=A$ ou $M=B$ ou $\widehat{AMB}=90°$
L'ensemble des points $M$ est le cercle de diamètre $[AB]$

Une autre démonstration peut être proposée, en introduisant $I$, milieu de $[AB]$ :
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\vec{IB})=0$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=0$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow MI^2-IA^2=0$
$\Longleftrightarrow IM=IA$
On obtient bien entendu la même conclusion : l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $IA$.

d) $MA^{2}+MB^{2}=a$ pour tout $a \gt 0$

On introduit le milieu $I$ du segment $[AB]$ :
$MA^2+MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})^2$
En développant, les doubles-produits se neutralisent et on obtient :
$MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$
$MA^2+MB^2=a \Longleftrightarrow 2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}=a$
$\Longleftrightarrow MI^2=\dfrac{2a-AB^2}{4}$

$\circ$ Si $\dfrac{2a-AB^2}{4}\lt 0$, l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points $M$ est l'ensemble vide.

$\circ$ Si $\dfrac{2a-AB^2}{4}\gt 0$, alors $MI=\dfrac{\sqrt{2a-AB^2}}{2}$
L'ensemble des points $M$ représente le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{2a-AB^2}}{2}$

$\circ$ Si $a\dfrac{2a-AB^2}{4}=0$, l'ensemble des points $M$ est réduit au point $I$.

e) $MA^{2}-MB^{2}=a$ pour tout $a$ réel.

Même technique que pour le d) , on introduit le point $I$ milieu de $[AB]$.
On obtient alors :
$\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2}-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2}=a$
En utilisant l'identité remarquable $\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right)$ :
$\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=a$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=a$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=\frac{a}{2}$

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AB)$.
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{HI}= \displaystyle \frac{a}{2}$

L'ensemble des points $M$ tels que $MA^2-MB^2= a$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par le point $H$ de $(AB)$ tel que $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{HI}= \displaystyle \frac{a}{2}$.