Propriétés du produit scalaire

I. Propriétés générales

$\circ\quad$ Symétrie : Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$.

$\circ\quad$ Bilinéarité : Pour tout réel $k$ et pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$, on a :

$\overrightarrow{u} \cdot (k \overrightarrow{v}) = (k \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = k (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$.

$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.

II. Identités remarquables

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs, alors :

$\circ\quad$ $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2$.

$\circ\quad$ $(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 - 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2$.

$\circ\quad$ $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2$.

III. Formules du produit scalaire en fonction des normes

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2}{2}$.

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2}{2}$.

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2}{4}$.

IV. Exemples de démonstrations

$\circ\quad$ Démonstration de la première identité remarquable

$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$.

$= \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$.

$= ||\overrightarrow{u}||^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2$.

Donc :

$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2$.

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2}{2}$.

$\circ\quad$ Démonstration de la deuxième identité remarquable

$(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$.

$= \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$.

$= ||\overrightarrow{u}||^2 - 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2$.

Donc :

$- 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2$.

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2}{2}$.