Produit scalaire (5)

Exercice 1

a. $x^2+y^2+2x-4y=0$
$\iff x^2+2x+y^2-4y=0$
$\iff (x+1)^2-1+(y-2)^2-4=0$
$\iff (x+1)^2+(y-2)^2=5$

Il s’agit de l’équation du cercle de centre $A(-1~;~2)$ et de rayon $\sqrt{5}$.

b. $x^2+y^2+5x-4y-10=0$
$\iff x^2+5x+y^2-4y-10=0$
$\iff (x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{25}{4}+(y-2)^2-4-10=0$
$\iff (x+\dfrac{5}{2})^2+(y-2)^2=\dfrac{81}{4}$

Il s’agit de l’équation du cercle de centre $B(-\dfrac{5}{2}~;~2)$ et de rayon $\dfrac{9}{2}$.

c. $x^2+y^2-3x-5y+9=0$
$\iff x^2-3x+y^2-5y+9=0$
$\iff (x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{4}+(y-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{25}{4}+9=0$
$\iff (x-\dfrac{3}{2})^2+(y-\dfrac{5}{2})^2=-\dfrac{1}{2}$

Puisque $-\dfrac{1}{2}<0$, il ne s’agit pas de l’équation d’un cercle.

2. $x^2+y^2-4x+8y+c=0$
   $\iff x^2-4x+y^2+8y+c=0$
   $\iff (x-2)^2-4+(y+4)^2-16+c=0$
   $\iff (x-2)^2+(y+4)^2=20-c$

Il s’agit de l’équation d’un cercle de rayon $3$ si, et seulement si, $20-c=9$ c’est-à-dire si, et seulement si, $c=11$.

Exercice 2

1. $C_0:x^2+y^2+2x+6y-10=0$
   $\iff x^2+2x+y^2+6y-10=0$
   $\iff (x+1)^2-1+(y+3)^2-9-10=0$
   $\iff (x+1)^2+(y+3)^2=20$

$C_0$ est donc le cercle de centre $I_0(-1~;~-3)$ et de rayon $\sqrt{20}$.

$C_1:x^2+y^2-2x+2x+2y+6y-10=0$
$\iff x^2+y^2+8y-10=0$
$\iff x^2+(y+4)^2-16-10=0$
$\iff x^2+(y+4)^2=26$

$C_1$ est donc le cercle de centre $I_1(0~;~-4)$ et de rayon $\sqrt{26}$.

$C_2:x^2+y^2-4x-2x+4y+6y-10=0$
$\iff x^2-2x+y^2+10y-10=0$
$\iff (x-1)^2-1+(y+5)^2-25-10=0$
$\iff (x-1)^2+(y+5)^2=36$

$C_2$ est donc le cercle de centre $I_2(1~;~-5)$ et de rayon $6$.

2. $x^2+y^2-2kx+2x+2ky+6y-10=0$
   $\iff x^2+2(1-k)x+y^2+2(k+3)y-10=0$
   $\iff (x+1-k)^2-(1-k)^2+(y+k+3)^2-(k+3)^2-10=0$
   $\iff (x+1-k)^2+(y+k+3)^2=10+(1-k)^2+(k+3)^2$
   $\iff (x+1-k)^2+(y+k+3)^2=10+1-2k+k^2+k^2+6k+9$
   $\iff (x+1-k)^2+(y+k+3)^2=20+4k+2k^2$

$C_k$ est donc le cercle de centre $I_k(-1+k~;~-k-3)$ et de rayon $\sqrt{20+4k+2k^2}$

3. On appelle $x_k$ et $y_k$ les abscisses et ordonnées du point $I_k$.

$y_k=-k-3=(-1+k)-4=-x_k-4$

Ainsi l’ensemble cherché est inclus dans la droite d’équation $y=-x-4$.

Mais quand $k$ décrit $\mathbb{R}$ alors $x_k=-1+k$ décrit également $\mathbb{R}$.

Ainsi l’ensemble cherché est la droite d’équation $y=-x-4$.

Exercice 3

1. On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$ donc $IA=2~\text{cm}$.

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=10$

$\iff(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=10$

$\iff MI^2+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=10$

$\iff MI^2-\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IA}=10$

$\iff MI^2-IA^2=10$

$\iff MI^2-4=10$

$\iff MI^2=14$

$\iff MI=\sqrt{14}$

Il s’agit donc du cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{14}$.

2. On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$ donc $IA=2,5~\text{cm}$.

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-2$

$\iff(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=-2$

$\iff MI^2+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=-2$

$\iff MI^2-\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IA}=-2$

$\iff MI^2-IA^2=-2$

$\iff MI^2-6,25=-2$

$\iff MI^2=4,25$

$\iff MI=\sqrt{4,25}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$

Il s’agit donc du cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$.