Maîtrise les équations de cercle dans un repère ! Apprends à rédiger l'équation d’un cercle à partir de son centre et de son rayon, et découvre comment reconnaître une équation de cercle même lorsqu’elle est cachée dans une forme développée.
Mots-clés : équation de cercle, centre et rayon, géométrie analytique, distance entre deux points, forme canonique.
Rappel :
Si A(xA;yA) et B(xB;yB) alors AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
I. Équation de cercle
Définition Soit A un point du plan et r un réel positif. Le cercle de centre A et de rayon r est l'ensemble des points M du plan vérifiant AM=r.
AM est une longueur, r est un réel positif, dire que AM=r revient à dire que AM2=r2.
Dans le repère choisi, si A a pour coordonnées (xA;yA), et si je note (x;y) les coordonnées d'un point M quelconque,
M(x;y)∈C(A;r) revient à dire AM=r soit AM2=r2,
ce qui donne : (x−xA)2+(y−yA)2=r2.
À retenir (x−xA)2+(y−yA)2=r2 est une équation du cercle de centre A(xA;yA) et de rayon r.
II. Des exemples
1. Est-ce que je sais écrire l'équation d'un cercle ?
Exercice 1 :Savoir écrire une équation de cercle connaissant son centre et son rayon
Écrire une équation du cercle de centre A(1;−3) et de rayon r=2.
Correction Une équation du cercle de centre A et de rayon r est : (x−1)2+(y+3)2=4 que l'on peut développer si besoin, et on trouve alors : x2+y2−2x+6y+6=0.
2. Est-ce que je sais reconnaître l'équation d'un cercle ?
Exercice 2 :L'équation qu'on me donne est-elle une équation de cercle ?
Soit M(x,;y) tel que x2+y2−3x+y+1=0. Est-ce l'équation d'un cercle ?
Correction
Transformons cette écriture : x2+y2−3x+y+1=0 x2−3x+y2+y+1=0
x2−3x est le début du développement d'une identité remarquable, de même y2+y.
(x−23)2−49+(y+21)2−41+1=0
(x−23)2+(y+21)2=23
L'ensemble des points M est donc le cercle de centre A,(23;−21) et de rayon 23.