Équation de cercle

Rappel :

Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ alors $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

I. Équation de cercle

Définition
Soit $A$ un point du plan et $r$ un réel positif.
Le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant $AM=r$.

$AM$ est une longueur, $r$ est un réel positif, dire que $AM=r$ revient à dire que $AM^2=r^2$.

Dans le repère choisi, si $A$ a pour coordonnées $(x_A\,; y_A)$, et si je note $(x\,;y)$ les coordonnées d'un point $M$ quelconque,

$M(x\,;y)\in \mathcal{C}(A\,; r)$ revient à dire $AM=r$ soit $AM^2=r^2$,

ce qui donne : $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.

À retenir
$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$ est une équation du cercle de centre $A(x_A\,;y_A)$ et de rayon $r$.

II. Des exemples

$1.$ Est-ce que je sais écrire l'équation d'un cercle ?

Exercice 1 : Savoir écrire une équation de cercle connaissant son centre et son rayon

Écrire une équation du cercle de centre $A(1\,; -3)$ et de rayon $r=2$.

Correction
Une équation du cercle de centre $A$ et de rayon $r$ est :
$(x-1)^2+(y+3)^2=4$
que l'on peut développer si besoin, et on trouve alors :
$x^2+y^2-2x+6y+6=0$.

$2.$ Est-ce que je sais reconnaître l'équation d'un cercle ?

Exercice 2 : L'équation qu'on me donne est-elle une équation de cercle ?

Soit $M(x,;y)$ tel que $x^2+y^2-3x+y+1=0$.
Est-ce l'équation d'un cercle ?

Correction

Transformons cette écriture :
$x^2+y^2-3x+y+1=0$
$x^2-3x+y^2+y+1=0$

$x^2-3x$ est le début du développement d'une identité remarquable, de même $y^2+y$.

$\left(x-\dfrac 3 2\right)^2-\dfrac 9 4 +\left(y+\dfrac 1 2 \right)^2-\dfrac 1 4 + 1 = 0$

$\left(x-\dfrac 3 2\right)^2+ \left(y+\dfrac 1 2 \right)^2= \dfrac 3 2$

L'ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $A,\left(\dfrac 3 2\,; -\dfrac 1 2 \right)$ et de rayon
$\sqrt{\dfrac 3 2}$.