Produit scalaire (4)

Exercice 1

On appelle $A’$, $B’$ et $C’$ les milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.

Calcul de $AA’$

D’après le théorème de la médiane on a :

$AB^2+AC^2=2AA’^2+\dfrac{BC^2}{2}$
Par conséquent $36+25=2AA’^2+\dfrac{49}{2}$

Donc $61=2AA’^2+\dfrac{49}{2}$

D’où $AA’^2=\dfrac{61-24,5}{2}=18,25$.

On en déduit donc que $AA’=\sqrt{18,25}$.

Calcul de $BB’$

D’après le théorème de la médiane on a :

$BA^2+BC^2=2BB’^2+\dfrac{AC^2}{2}$
Par conséquent $36+49=2BB’^2+\dfrac{25}{2}$

Donc $85=2BB’^2+\dfrac{25}{2}$

D’où $BB’^2=\dfrac{85-12,5}{2}=36,25$

On en déduit donc que $BB’=\sqrt{36,25}$

Calcul de $CC’</strong>$

D’après le théorème de la médiane on a :

$CA^2+CB^2=2CC’^2+\dfrac{AB^2}{2}$
Par conséquent $25+49=2CC’^2+\dfrac{36}{2}$

Donc $74=2CC’^2+18$

D’où $CC’^2=\dfrac{74-18}{2}=28$

On en déduit donc que $CC’=\sqrt{28}$

Exercice 2

D’après la formule des sinus

$\dfrac{AB}{\sin\widehat{ACB}}=\dfrac{AC}{\sin\widehat{ABC}}=\dfrac{BC}{\sin\widehat{BAC}}$

La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$ donc $\widehat{ABC}=180-(60+75)=45^\circ$
Par conséquent

$\dfrac{8}{\sin45}=\dfrac{BC}{\sin60}$

Ainsi $BC=\dfrac{8\sin60}{\sin45}=\dfrac{8\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{6}$

2. Les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BCD}$ sont supplémentaires donc $\widehat{BCD}=180-75=105^\circ$.

On applique le théorème Al-Kashi dans le triangle $BCD$

$BD^2=BC^2+CD^2-2\times BC\times CD\times\cos\widehat{BCD}$

$=(4\sqrt{6})^2+8^2-2\times4\sqrt{6}\times8\times\cos105$

$=96+64-64\sqrt{6}\times\cos105$

$=160-64\sqrt{6}\times\cos105$

$BD\simeq14,2$