Médiatrice et bissectrice

On construit un triangle $ABC$ tel que $AB~=~6~cm$, $AC~=~10~cm$ et $\widehat{BAC}~=~43^\circ$.
On trace ensuite la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$ et la médiatrice du segment $[AC]$. Elles se coupent en $M$.

👉 Petit conseil : en géométrie, laisse toutes les constructions visibles (arcs de compas, traits de construction, marques d’égalité). C’est souvent ce qui “prouve” ta réponse.

Étape 1 : Construction

1. Trace le segment $[AB]$ de longueur $6~cm$.

2. En $A$, construis un angle de $43^\circ$ avec le segment $[AB]$ : tu obtiens une demi-droite issue de $A$.

3. Place $C$ sur cette demi-droite en utilisant le compas pour avoir $AC~=~10~cm$.

4. Construis la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$ : elle passe par $A$ et coupe l’angle en deux parts égales.

5. Construis la médiatrice de $[AC]$ : c’est la droite perpendiculaire à $[AC]$ passant par son milieu.

6. Le point d’intersection de ces deux droites est $M$.

👉 Petit conseil : pour la médiatrice, tu dois faire deux arcs de compas (centres $A$ et $C$) avec la même ouverture, puis relier les points d’intersection des arcs.

Question 2 : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{CAM}$

Comme $M$ est sur la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$, cette bissectrice partage l’angle en deux angles égaux :

$\widehat{BAM}~=~\widehat{MAC}~=~\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$

Donc :

$\widehat{CAM}~=~\widehat{MAC}~=~\dfrac{43^\circ}{2}~=~21,5^\circ$

👉 Petit conseil : pense “bissectrice = angle coupé en 2 angles égaux”.

Question 3 : Comparer les longueurs $MA$ et $MC$. Justifier.

Comme $M$ est sur la médiatrice du segment $[AC]$, alors $M$ est à égale distance de $A$ et de $C$.

Donc : $MA~=~MC$

👉 Petit conseil : retiens la phrase-clé : “Tout point de la médiatrice d’un segment est à égale distance des deux extrémités”.

Question 4 : Nature du triangle $ACM$. Justifier.

On vient de montrer que : $MA~=~MC$

Donc le triangle $ACM$ a deux côtés égaux ($MA$ et $MC$).
Alors le triangle $ACM$ est isocèle en $M$ (et sa base est $[AC]$).

👉 Petit conseil : “isocèle en $M$” veut dire que les côtés égaux se rencontrent au point $M$.