Limites avec exponentielle et logarithme : croissances comparées

Exercice 1

Soit à déterminer, si elle existe, la limite en $+\infty$ de $f(x)=2x-\ln x$
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $2x$ tend vers $+\infty$ ainsi que $\ln x$.
On a donc une forme indéterminée, qu'on va lever en utilisant les croissances comparées établies en cours.
Pour ce faire, transformons l'écriture de $f(x)$.
Pour $x \neq 0$, $f(x)=x\left(2-\dfrac{\ln x}{x}\right)$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}2-\dfrac{\ln x}{x} = 2$
Conclusion : par produit on obtient $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

Exercice 2

Soit à déterminer, si elle existe, la limite en $+\infty$ de $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$
Numérateur comme dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$, on va donc lever l'indétermination.
Pour cela, transformons l'écriture de $f(x)$.
Pour $x\neq 0$,
$f(x)= \dfrac{e^x}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}$

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^2}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$
Conclusion : par produit, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$

Exercice 3

Soit à déterminer, si elle existe, la limite en $+\infty$ de $f(x)= \dfrac{3 \times e^x}{x^6 \ln x}$
Nous avons bien une forme indéterminée. Transformons l'écriture de $f(x)$.

$f(x)= 3\times \dfrac{ e^x}{x^6 \ln x} = 3 \times\dfrac{ e^x}{x^7}\times \dfrac{x}{\ln x}$

Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
$\lim\limits_{x\to +\infty} 3 \times\dfrac{ e^x}{x^7} = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0^+$ donc en prenant l'inverse $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\ln x} = +\infty$

Conclusion : par produit, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3 \times e^x}{x^6 \ln x} = +\infty$

Exercice 4

Soit à déterminer, si elle existe, la limite en $+\infty$ de $f(x)=x^5-x^4\ln x$
Après avoir vérifié que nous avons bien une forme indéterminée, transformons l'écriture de $f(x)$.
Pour cela, mettons en facteur le terme de plus haut degré.

Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^5-x^4\ln x =x^5\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$

Nous savons que $\lim\limits_{x\to +\infty}x^5 = +\infty$
Et que $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1$

Conclusion : $\lim\limits_{x\to +\infty}x^5(1-\dfrac{\ln x}{x}) = +\infty$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) = +\infty$

Exercice 5

Soit à déterminer, si elle existe, la limite de $f(x) = \dfrac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}$ lorsque $x$ tend vers $2$ par valeurs inférieures à $2$
$\lim\limits_{x\to 2^-}(x-2) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x\to 2^-}\dfrac{1}{x-2} = -\infty$

Posons $X = \dfrac{1}{x-2}$. Ce changement de variable nous permet d'écrire :

$\dfrac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}\times e^{\frac{1}{x-2}}= Xe^X$

Or dire que $x$ tend vers $2^-$ revient à dire que $X$ tend vers $-\infty$

Donc $\lim\limits_{x\to 2^-}\left(\dfrac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}\right) = \lim\limits_{X\to -\infty} X e^X = 0$

Conclusion : $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=0$