Propriétés de la fonction logarithme népérien

LES PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Propriété fondamentale (encore appelée relation fonctionnelle) :
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.

Démonstration :
Soient $a \in \mathbb{R}+^*$ et $b \in \mathbb{R}+^*$.
$e^{\ln(a) + \ln(b)} = e^{\ln(a)} \cdot e^{\ln(b)} = ab$ d’après la définition de $\ln$.

En passant au logarithme :
$e^{\ln(a) + \ln(b)} = ab$
$\iff \ln(e^{\ln(a) + \ln(b)}) = \ln(ab)$
$\iff \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$.

Exemple :
$\ln(3 \times 5) = \ln(3) + \ln(5)$.

Propriété :
Pour tout réel $a$ strictement positif,
$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$.

Démonstration :
Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$, on a :
$\dfrac{1}{a} \cdot a = 1 \implies \ln\left(\dfrac{1}{a} \cdot a\right) = \ln(1)$.

D’après la propriété fondamentale : on obtient
$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) + \ln(a) = 0$ soit $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$

Exemple :
$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.

Propriété (relation fonctionnelle) :
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.

Démonstration :
Soient $a \in \mathbb{R}+^*$ et $b \in \mathbb{R}+^*$.
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln\left(a \cdot \dfrac{1}{b}\right) = \ln(a) + \ln\left(\dfrac{1}{b}\right)$.

D’après les propriétés établies précédemment, on a : $\ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln(b)$.

Ainsi, $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.

Exemple :
$\ln\left(\dfrac{5}{8}\right) = \ln(5) - \ln(8)$.

Propriété :
Pour tout réel $a$ strictement positif et pour tout entier naturel $n$,
$\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)$.

Ce résultat se démontre par récurrence.

Propriété :
Pour tout réel $a$ strictement positif,
$\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2} \ln(a)$.

Démonstration :
Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$, on a : $(\sqrt{a})^2 = a$.

En passant au logarithme :
$\ln((\sqrt{a})^2) = \ln(a)$$\iff 2 \ln(\sqrt{a}) = \ln(a)$
$\iff \ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2} \ln(a)$.

Exemple :
$\ln(\sqrt{5}) = \dfrac{1}{2} \ln(5)$.

Exemples :
Exprimons en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(3)$ les expressions suivantes :

$\circ\quad \ln(6)$ :
$\ln(6) = \ln(3 \times 2) = \ln(3) + \ln(2)$.

$\circ\quad \ln\left(\dfrac{2}{3}\right)$ :
$\ln\left(\dfrac{2}{3}\right) = \ln(2) - \ln(3)$.

$\circ\quad \ln\left(\dfrac{1}{12}\right)$ :
$\ln\left(\dfrac{1}{12}\right) = \ln\left(\dfrac{1}{2 \times 2 \times 3}\right) = -(\ln(2) + \ln(2) + \ln(3)) = -2 \ln(2) - \ln(3)$.

$\circ\quad \ln(\sqrt{12})$ :
$\ln(\sqrt{12}) = \dfrac{1}{2} \ln(12) = \dfrac{1}{2} (\ln(2) + \ln(2) + \ln(3)) = \dfrac{1}{2} (2 \ln(2) + \ln(3))$.

$\circ\quad \ln(72)$ :
$\ln(72) = \ln(3^2 \times 2^3) = 2 \ln(3) + 3 \ln(2)$.