Compléments : croissances comparées et dérivée composée

Signaler

I. Limites

Théorème des croissances comparées :

limx+ln(x)x=0\circ\quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0

limx+xln(x)=+\circ\quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\ln(x)} = +\infty

Théorème généralisé :
Pour tout entier naturel nn, on a :

limx+ln(x)xn=0\circ\quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0

limx+xnln(x)=+\circ\quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n \ln(x) = +\infty

II. Un exemple

Soit à déterminer, si elle existe, la limite en ++\infty de f(x)=3×exx6lnxf(x)= \dfrac{3 \times e^x}{x^6 \ln x}.

Nous avons bien une forme indéterminée.

Transformons l'écriture de f(x)f(x).

f(x)=3×exx6lnx=3×exx7×xlnxf(x)= 3\times \dfrac{ e^x}{x^6 \ln x} = 3 \times\dfrac{ e^x}{x^7}\times \dfrac{x}{\ln x}

Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
limx+3×exx7=+\displaystyle \lim_{x\to +\infty} 3 \times\dfrac{ e^x}{x^7} = +\infty et limx+lnxx=0+\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0^+ donc en prenant l'inverse limx+xlnx=+\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{\ln x} = +\infty.

Conclusion :
Nous avons donc par produit : limx+3×exx6lnx=+\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x} = +\infty.

III. Dérivée de ln(u)\ln(u)ou encore lnu\ln\circ u

Théorème :
Si uu est dérivable et strictement positive sur II, alors ln(u)\ln(u) est dérivable sur II et :
(ln(u))=uu\left(\ln(u)\right)' = \dfrac{u'}{u}.

Exemple :

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par f(x)=ln(x2+1)f(x) = \ln(x^2+1).

La fonction xx2+1x \mapsto x^2+1 est dérivable sur R\mathbb R]0;+[]0 ; +\infty[, donc on pose, pour x]0;+[x \in ]0 ; +\infty[ :
u(x)=x2+1;u(x)=2xu(x) = x^2+1 \quad ; \quad u'(x) = 2x.

Ainsi, selon le théorème :
f(x)=u(x)u(x)=2xx2+1f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x}{x^2+1}.