I. Limites
Théorème des croissances comparées :
∘x→+∞limxln(x)=0
∘x→+∞limln(x)x=+∞
Théorème généralisé :
Pour tout entier naturel n, on a :
∘x→+∞limxnln(x)=0
∘x→+∞limxnln(x)=+∞
II. Un exemple
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en +∞ de f(x)=x6lnx3×ex.
Nous avons bien une forme indéterminée.
Transformons l'écriture de f(x).
f(x)=3×x6lnxex=3×x7ex×lnxx
Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
x→+∞lim3×x7ex=+∞ et x→+∞limxlnx=0+ donc en prenant l'inverse x→+∞limlnxx=+∞.
Conclusion :
Nous avons donc par produit : x→+∞limx6lnx3×ex=+∞.
III. Dérivée de ln(u)ou encore ln∘u
Théorème :
Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors ln(u) est dérivable sur I et :
(ln(u))′=uu′.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=ln(x2+1).
La fonction x↦x2+1 est dérivable sur R]0;+∞[, donc on pose, pour x∈]0;+∞[ :
u(x)=x2+1;u′(x)=2x.
Ainsi, selon le théorème :
f′(x)=u(x)u′(x)=x2+12x.