Etude de la fonction logarithme népérien

I. Définition

On appelle fonction logarithme népérien la fonction $f$ définie, pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, par $f(x) = \ln(x)$. La fonction logarithme népérien est continue sur $]0 ; +\infty[$.

II.Dérivée

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \ln(x)$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$, et $f'(x) = \dfrac{1}{x}$.

(La démonstration s'obtient grâce à la dérivée de l'exponentielle que l'on connaît.)

III. Sens de variation et signe

Propriété :
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

Démonstration :
Pour tout réel $x \in ]0 ; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ et x > 0 pour $x \in ]0 ; +\infty[$.
Donc $f$ est croissante sur $]0 ; +\infty[$.

Conséquences :
$\circ\quad$ Si $0 \leq x \leq 1$, alors $\ln(x) \leq 0$.
$\circ\quad$ Si $x \geq 1$, alors $\ln(x) \geq 0$.
$\circ\quad$ Si $a \leq b$, alors $\ln(a) \leq \ln(b)$.
$\circ\quad$ $\ln(a) = \ln(b) \iff a = b$.

Tableau de signes : Attention aux ensembles de définition ! 3 exemples à bien comprendre

Exemples :

$\circ\quad$ Résoudre $\ln[(x + 3)(x - 2)] = \ln(6)$ : $(E_1)$
Condition : $(x + 3)(x - 2)\gt 0$. Signe d'un produit (polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif) , ainsi, $D = ]-\infty ; -3[ \cup ]2 ; +\infty[$.

$(E_1) \iff (x + 3)(x - 2) = 6$ avec $x\in D$.
$\iff x^2 + x - 12 = 0$ avec $x\in D$.
$\iff x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -4$ à condition que $x\in D$

$\{-4 ; 3\} \subset D$, donc $S = \{-4 ; 3\}$.

$\circ\quad$ Résoudre $\ln(x + 3) + \ln(x - 2) = \ln(6)$ : $(E_2)$
Condition :

$x+3\gt 0$ et $x-2\gt 0$ soit : $D' = ]-3 ; +\infty[ \cap ]2 ; +\infty[ = ]2 ; +\infty[$.

$(E_2) \iff \ln((x + 3)(x - 2)) = \ln(6)$ avec $x\in D'$
$\iff (x + 3)(x - 2) = 6$ avec $x\in D'$
$\iff x^2 + x - 12 = 0$ avec $x\in D'$

$\iff x=3\text{ ou } x=-4$ avec $x\in D'$
mais $-4 \notin D'$.

Ainsi, $S = \{3\}$.

$\circ\quad$ Résoudre $\ln[(x + 3)(x - 2)] \leq \ln(6)$ : $(E_3)$
Condition :
$(x + 3)(x - 2) \gt 0$, pour $x \in D = ]-\infty ; -3[ \cup ]2 ; +\infty[$.

$(x + 3)(x - 2) \leq 6 \iff x^2 + x - 12 \leq 0$ avec $x\in ]-\infty ; -3[ \cup ]2 ; +\infty[$

La résolution donne :
$\ln((x + 3)(x - 2)) \leq \ln(6)$ pour $x \in [-4 ; -3[ \cup ]2 ; 3]$.

Ainsi, $S=[-4 ; -3[ \cup ]2 ; 3]$

Attention donc :

$\ln(ab)$ est défini si ab > 0.
$\ln(a) + \ln(b)$ est défini si a > 0 et b > 0.

On peut toujours écrire $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$, mais $\ln(ab) = \ln(|a|) + \ln(|b|)$.

IV. Limites

En $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

En $0$ : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

V. Tableau de variations

VI. Courbe représentative

qu'il est bon de mémoriser afin de retrouver très vite et sûrement les résultats.

Propriété :
La fonction logarithme népérien est concave sur $]0 ; +\infty[$.

Démonstration :
Soit $x \in \mathbb{R}+^*$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}+^*$ par $f(x) = \ln(x)$.

$\forall x \in \mathbb{R}_+^*$, on a : $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ et f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0.

Ainsi, $f$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$.

Remarques :
$\circ\quad$ $\ln$ et $\text{exp}$ sont deux fonctions réciproques l’une de l’autre.
On note $(\text{exp})^{-1} = \ln$ et $(\ln)^{-1} = \text{exp}$.

$\circ\quad$ Les courbes représentatives de$\ln$ et de $\text{exp}$ sont symétriques par rapport à l’axe $\Delta : y = x$.