Limites de fonctions : des incontournables

1. Le dénominateur tend vers $0$. On étudie donc son signe :

$\left\lbrace \begin{array}{c} \lim\limits_{x \to -3^-} 2x+5 = -1 \\ \lim\limits_{x \to -3^-} -3-x = 0^+ \end{array} \right. \\\Longrightarrow \lim\limits_{x \to -3^-} \dfrac{2x+5}{-3-x}=-\infty$

2. Il s'agit ici de calculer la limite d'une fonction composée.
   Sous le radical, on a une fonction rationnelle. D'après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :

$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x+5}{4x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x}{4x}=\dfrac{3}{4}$

$\lim\limits_{x \to \frac{3}{4}} \sqrt{x} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}$

Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{3x+5}{4x-1}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

3. $\lim\limits_{x\to 1^+}x^2+x-2 = 0$ et $\lim\limits_{x\to 1^+}2x^2+4x-6=0$

On est donc en présence d'une forme indéterminée.
Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser les deux polynômes du second degré.

• Pour $x^2+x-2$

$\Delta = 1^2-4\times 1 \times (-2) = 9=3^2>0$

Il y a donc deux racines réelles : $x_1=\dfrac{-1-3}{2} = -2$ et $x_2=\dfrac{-1+3}{2}=1$.

Ainsi $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

• Pour $2x^2+4x-6$

$\Delta = 4^2-4\times 2\times (-6) = 64=8^2>0$

Il y a donc deux racines réelles : $x_1=\dfrac{-4-8}{4}=-3$ et $x_2=\dfrac{-4+8}{4}=1$

Ainsi $2x^2+4x-6=2(x-1)(x+3)$

Donc partout où cette fonction rationnelle est définie, on peut écrire :

$\dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{2(x-1)(x+3)}=\dfrac{x+2}{2(x+3)}$

D'où :

$\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x+2}{2(x+3)}=\dfrac{3}{8}$