Définition de la fonction logarithme népérien

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LE LIEN AVEC LA FONCTION EXPONENTIELLE

Définition :
Pour tout réel aa strictement positif, on appelle logarithme népérien de aa l’unique solution réelle de l’équation ex=ae^x = a, notée ln(a)\ln(a). Autrement dit :
ex=a    x=ln(a)e^x = a \iff x = \ln(a)

Remarque :
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R\mathbb{R} et exp(R)=]0;+[\text{exp}(\mathbb{R}) = ]0 ; +\infty[.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ex=ae^x = a admet une unique solution x=ln(a)x = \ln(a), pour tout réel strictement positif aa.

Remarque :
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés :
\circ\quad Pour tout réel xx strictement positif, eln(x)=xe^{\ln(x)} = x.
\circ\quad Pour tout réel xx, on a : ln(ex)=x\ln(e^x) = x.

Démonstration :
\circ\quad Soit x]0;+[x \in ]0 ; +\infty[, on a eln(x)=xe^{\ln(x)} = x par définition du logarithme népérien de xx.
\circ\quad Soit xRx \in \mathbb{R}. On a e^x > 0. D’après la première propriété,
exp(ln(ex))=exp(x)\text{exp}(\ln(e^x)) = \text{exp}(x)
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R\mathbb{R}, on a :
ln(ex)=x\ln(e^x) = x.

Conséquences :
e0=1    ln(1)=0\circ\quad e^0 = 1 \iff \ln(1) = 0.
e1=e    ln(e)=1\circ\quad e^1 = e \iff \ln(e) = 1.

Exemple :
Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation e7x3=4e^{7x-3} = 4.

4 > 0 donc l’équation admet une unique solution sur R\mathbb{R}.
e7x3=4e^{7x-3} = 4
    7x3=ln(4)\iff 7x - 3 = \ln(4)
    7x=ln(4)+3\iff 7x = \ln(4) + 3
    x=ln(4)+37\iff x = \dfrac{\ln(4) + 3}{7}.

Donc S={ln(4)+37}S=\left\lbrace \dfrac{\ln(4) + 3}{7}\right\rbrace