Définition de la fonction logarithme népérien

I. Le lien avec la fonction exponentielle

Définition :
Pour tout réel $a$ strictement positif, on appelle logarithme népérien de $a$ l’unique solution réelle de l’équation $e^x = a$, notée $\ln(a)$. Autrement dit :
$e^x = a \iff x = \ln(a)$

Remarque :
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $\text{exp}(\mathbb{R}) = ]0 ; +\infty[$.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $e^x = a$ admet une unique solution $x = \ln(a)$, pour tout réel strictement positif $a$.

Remarque :
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés :
$\circ\quad$ Pour tout réel $x$ strictement positif, $e^{\ln(x)} = x$.
$\circ\quad$ Pour tout réel $x$, on a : $\ln(e^x) = x$.

Démonstration :
$\circ\quad$ Soit $x \in ]0 ; +\infty[$, on a $e^{\ln(x)} = x$ par définition du logarithme népérien de $x$.
$\circ\quad$ Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $e^x > 0$. D’après la première propriété,
$\text{exp}(\ln(e^x)) = \text{exp}(x)$
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on a :
$\ln(e^x) = x$.

Conséquences :
$\circ\quad e^0 = 1 \iff \ln(1) = 0$.
$\circ\quad e^1 = e \iff \ln(e) = 1$.

Exemple :
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $e^{7x-3} = 4$.

$4 > 0$ donc l’équation admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
$e^{7x-3} = 4$
$\iff 7x - 3 = \ln(4)$
$\iff 7x = \ln(4) + 3$
$\iff x = \dfrac{\ln(4) + 3}{7}$.

Donc $S=\left\lbrace \dfrac{\ln(4) + 3}{7}\right\rbrace$

II. Le lien avec le logarithme décimal

Tu as peut-être découvert (souvent avec la calculatrice) d’abord le logarithme décimal, noté $\log$, qui correspond au logarithme en base $10$. Cela signifie que $\log(x)$ est le nombre qu’il faut élever $10$ pour obtenir $x$.

Par exemple, $\log(100)=2$ car $10^2=100$.

Le logarithme népérien, noté $\ln$, repose sur le même principe, mais avec une autre base : le nombre $\text e$ (environ $2{,}718$).

Ces deux fonctions sont donc très proches dans leur définition : seule la base change. On peut d’ailleurs passer de l’une à l’autre grâce à la relation $\boxed{\ln(x)=\dfrac{\log(x)}{\log(\text e)}}$.