LE LIEN AVEC LA FONCTION EXPONENTIELLE
Définition :
Pour tout réel a strictement positif, on appelle logarithme népérien de a l’unique solution réelle de l’équation ex=a, notée ln(a). Autrement dit :
ex=a⟺x=ln(a)
Remarque :
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R et exp(R)=]0;+∞[.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ex=a admet une unique solution x=ln(a), pour tout réel strictement positif a.
Remarque :
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Propriétés :
∘ Pour tout réel x strictement positif, eln(x)=x.
∘ Pour tout réel x, on a : ln(ex)=x.
Démonstration :
∘ Soit x∈]0;+∞[, on a eln(x)=x par définition du logarithme népérien de x.
∘ Soit x∈R. On a e^x > 0. D’après la première propriété,
exp(ln(ex))=exp(x)
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R, on a :
ln(ex)=x.
Conséquences :
∘e0=1⟺ln(1)=0.
∘e1=e⟺ln(e)=1.
Exemple :
Résoudre dans R l’équation e7x−3=4.
4 > 0 donc l’équation admet une unique solution sur R.
e7x−3=4
⟺7x−3=ln(4)
⟺7x=ln(4)+3
⟺x=7ln(4)+3.
Donc S={7ln(4)+3}