Limites de fonctions : 6 affirmations Vrai ou Faux corrigées pas à pas avec contre-exemples

Question n°1 — Rappel de l’énoncé
$f$ est le polynôme défini par $f(x) = -x^5 + x - 3$. Sa limite en $-\infty$ est égale à $+\infty$.

Résolution pas à pas
On met en facteur le terme de plus haut degré, c’est-à-dire $-x^5$ :

$f(x) = -x^5 + x - 3$

$= -x^5 \left(1 - \dfrac{x}{x^5} + \dfrac{3}{x^5}\right)$

$= -x^5 \left(1 - \dfrac{1}{x^4} + \dfrac{3}{x^5}\right)$

Ensuite, on étudie la limite de chaque facteur quand $x\to -\infty$ :

• $-x^5 \to +\infty$ car $x^5\to -\infty$ et le signe « – » inverse.

• Dans la parenthèse, $\dfrac{1}{x^4}\to 0$ et $\dfrac{3}{x^5}\to 0$, donc l’ensemble de la parenthèse tend vers $1$.

Ainsi :
$f(x) = (-x^5)\times(\text{quelque chose qui tend vers }1) \to +\infty$.

Conclusion
L’énoncé est vrai : $f(x)\to +\infty$ quand $x\to -\infty$.

Contre-exemple (pour voir l’importance du signe)
Si on avait $g(x)=x^5+x-3$, en mettant $x^5$ en facteur, on aurait
$g(x)=x^5\left(1+\dfrac{1}{x^4}-\dfrac{3}{x^5}\right)$.
Quand $x\to -\infty$, $x^5\to -\infty$ et la parenthèse tend vers $1$, donc $g(x)\to -\infty$.

Question n°2 — Rappel de l’énoncé
$f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=-\sqrt{x}+x$. Sa limite en $+\infty$ est égale à $+\infty$.

Correction
On met $x$ en facteur :
$f(x)=x - \sqrt{x}$
$= x\left(1 - \dfrac{\sqrt{x}}{x}\right)$
$= x\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$.

Quand $x\to +\infty$ :

• $x\to +\infty$,

• $\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$.

Donc $f(x)\to +\infty$.

Conclusion : Vrai.

Question n°3 — Rappel de l’énoncé
$f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$. La limite de $f$ en $2$ est égale à $+\infty$.

Résolution pas à pas
On étudie les limites de chaque côté de $2$ :
Pour $x\to 2^+$, $x-2>0$ et $x-2\to 0^+$, donc $f(x)=\dfrac{1}{x-2}\to +\infty$.
Pour $x\to 2^-$, $x-2<0$ et $x-2\to 0^-$, donc $f(x)=\dfrac{1}{x-2}\to -\infty$.
Les deux limites sont infinies mais de signes opposés ; la limite en $2$ n’existe pas.

Conclusion : Faux.

Question n°4 — Rappel de l’énoncé
Si pour tout réel $x>0$, $f(x)=\dfrac{1}{x}$ alors $f$ n’a pas de limite en $0$.
infty$</p><p>Résolution :</p><p>Puisque$f$n'est définie que pour$x>0$, on ne cherche que la limite de$f$en$0^+$.</p><p>Or,$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac 1x=+\infty$, et$f$admet bien une limite en$0$.</p><p><strong>Conclusion : Faux.</strong></p><p></p><p><strong>Question n°5 </strong>— Rappel de l’énoncé<br>$f$et$g$sont deux fonctions. Si$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$alors$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$.</p><p>Résolution pas à pas<br>La limite d’un quotient dépend aussi de$g$. Sans information sur$g$, on ne peut conclure. Le résultat est en général faux.</p><p>Contre-exemple :</p><ul><li><p>$f(x)=\dfrac{1}{x}$et$g(x)=\dfrac{1}{x}$. Alors$f(x)\to 0$, mais$\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.</p></li><li><p>$f(x)=\dfrac{1}{x}$et$g(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Alors$\dfrac{f(x)}{g(x)}=x\to +\infty$.</p></li></ul><p>Donc l’énoncé est faux.</p><p><strong>Conclusion : Faux.</strong></p><p></p><p><strong>Question n°6</strong> — Rappel de l’énoncé<br>$f$et$g$sont deux fonctions. Si$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$alors$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)g(x)=+\infty$.</p><p><strong>Correction</strong><br>On ne peut rien conclure sans information sur$g(x)$.</p><p>Contre-exemple :</p><ul><li><p>Si$g(x)=0$, alors$f(x)g(x)=0$pour tout$x$, donc la limite vaut$0$.</p></li><li><p>Si$f(x)=x$et$g(x)=\dfrac{1}{x}$, alors$f(x)g(x)=1$, limite finie.</p></li><li><p>Si$f(x)=x$et$g(x)=(-1)^{n}\times x$avec$n\in\mathbb N$, alors$f(x)g(x)$oscille entre$+x$et$-x$(puisque$(-1)^n$vaut$+1$ou$-1$suivant la parité de$n$), donc la limite n’existe pas.

Conclusion : Faux.