Les fractions : multiplication et division

Exercice 1

$-\dfrac{55}{21}\times \dfrac{42}{-77}=(-1)\times (-1)\times \dfrac{55\times 42}{21\times 77}$

$\phantom{-\dfrac{55}{21}\times \dfrac{42}{-77}}=(+1)\times \dfrac{5\times 11\times 2\times 3\times 7}{3\times7\times7\times11}$

$\phantom{-\dfrac{55}{21}\times \dfrac{42}{-77}}=\dfrac{5\times \cancel{11}\times 2\times \cancel{3}\times \cancel{7}}{\cancel{3}\times7\times \cancel{7}\times \cancel{11}}$

$\phantom{-\dfrac{55}{21}\times \dfrac{42}{-77}}=\dfrac{10}{7}$

Réponse A

👉 Conseil : commence toujours par simplifier les signes négatifs puis cherche les facteurs communs à simplifier.

Exercice 2

$\dfrac{8}{9}:\dfrac{-16}{3}=(-1)\times \dfrac{8}{9}\times \dfrac{3}{16}$

$\phantom{\dfrac{8}{9}:\dfrac{-16}{3}}=(-1)\times \dfrac{8\times 3}{3\times 3\times 8\times 2}$

$\phantom{\dfrac{8}{9}:\dfrac{-16}{3}}=(-1)\times \dfrac{\cancel{8}\times \cancel{3}}{3\times \cancel{3}\times \cancel{8}\times 2}$

$\phantom{\dfrac{8}{9}:\dfrac{-16}{3}}=-\dfrac{1}{6}$

Réponse B

👉 Conseil : pour une division de fractions, multiplie toujours par l’inverse de la deuxième et simplifie avant de calculer.

Exercice 3

$1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\frac{7}{7}+\frac{3}{7}}}$

$\phantom{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\frac{10}{7}}}$

$\phantom{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{7}{10}}$

$\phantom{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}}=1+\dfrac{1}{\dfrac{10}{10}+\dfrac{7}{10}}$

$\phantom{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}}=1+\dfrac{1}{\dfrac{17}{10}}$

$\phantom{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}}=1+\dfrac{10}{17}$

$\phantom{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}}=\dfrac{17}{17}+\dfrac{10}{17}$

$\phantom{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{7}}}}=\dfrac{27}{17}$

Réponse D

👉 Conseil : dans les fractions imbriquées, résous toujours de l’intérieur vers l’extérieur (en commençant par le bas).

Exercice 4

Le lundi, il coupe la moitié du tas de bois soit $\dfrac{1}{2}$ du tas de bois, il reste donc la moitié soit $\dfrac{1}{2}$ du tas de bois.
Le mardi, il coupe la moitié de ce qui reste, soit $\dfrac{1}{2}$ de $\dfrac{1}{2}$ du tas de bois.
Mais $\dfrac{1}{2}$ de $\dfrac{1}{2}$ s’écrit $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}$ ce qui est égal à $\dfrac{1}{4}$ du tas de bois.
Il lui reste donc $\dfrac{1}{4}$ du tas de bois.
Le mercredi, il coupe la moitié de ce qui reste le mardi, donc il lui en reste encore la moitié de ce qui restait le mardi. Il coupe donc $\dfrac{1}{2}$ de $\dfrac{1}{4}$ du tas de bois soit $\dfrac{1}{8}$ du tas de bois.
Le jeudi, de même il restera $\dfrac{1}{16}$ du tas de bois.
Le vendredi, il restera $\dfrac{1}{32}$ du tas de bois.

Réponse B

👉 Conseil : quand une action se répète en prenant la moitié à chaque fois, on multiplie par $\dfrac{1}{2}$ à chaque étape.

Exercice 5

Marie a pressé $6+\dfrac{1}{4}$ de litre soit $6,25$ litres.
Une bouteille contient $\dfrac{5}{12}$ de litre.
Le nombre de bouteilles nécessaires sera donc :

$6,25 : \dfrac{5}{12}=6,25 \times \dfrac{12}{5}=15$ bouteilles.

Réponse C

👉 Conseil : pour trouver combien de fois une fraction tient dans une autre, fais une division de fractions (ou multiplie par l’inverse).

Exercice 6

Le biscuit pèse 20 g et contient $\dfrac{2}{5}$ de sucre soit $\dfrac{2}{5}\times 20 = 8$ g de sucre.
Le nappage pèse 4 g et contient $\dfrac{3}{4}$ de sucre soit $\dfrac{3}{4}\times 4 = 3$ g de sucre.
En tout, le gâteau contient donc : $8+3=11$ grammes de sucre.
Mais le gâteau pèse en tout : $20+4=24$ grammes.
La fraction de sucre contenu dans le gâteau est donc $\dfrac{11}{24}$.

Réponse A

👉 Conseil : multiplie chaque partie par sa proportion de sucre, additionne les masses sucrées puis rapporte au total.