Étude complète d’une suite définie par récurrence exponentielle

1-a) Calcul direct :

$U_1=e^{-0}U_0=1\times 1 = 1$
$U_2=e^{-1}U_1=e^{-1}\times 1 =e^{-1}$

$\boxed{U_1=1\text{ et }U_2=e^{-1}}$

b) Montrons par récurrence que , pour tout entier naturel $n\text{ , }U_n>0$

Initialisation : Pour $n=0$ , on a : $U_0=1>0$ .

Hérédité : Soit $n\in\N$ fixé tel que $U_n>0$ , montrons que $U_{n+1}>0$ .
On sait que pour la fonction $\exp$ est positive , donc $e^{-n}>0$
En multipliant deux réels strictement positifs , on obtient un réel strictement positif , donc : $e^{-n}U_n>0$
On obtient $U_{n+1}>0$

Conclusion : On conclut donc par récurrence , que :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }U_n>0}$

c) Pour tout $n\in\N\text{ , on a }n\geq 0$ , donc $-n\leq 0$ .

Et puisque la fonction $\exp$ est croissante , on a : $e^{-n}\leq e^{0}=1$

$\boxed{\text{ Pour tout }n\in\N\text{ : }e^{-n}\leq 1}$

Puisque $\forall n\in\N \text{ : }e^{-n}\leq 1 \text{ et } U_n>0$ .

Alors $e^{-n}U_n\leq U_n$ .

On en déduit que $\forall n\in\N\text{ : }U_{n+1}\leq U_n$

D'où :

$\boxed{(U_n)\text{ est une suite décroissante }}$

2-a) On a , pour tout entier naturel $n \text{ , }V_n=\ln(U_n)$ .

D'où :

$\begin{matrix}\forall n\in\N\text{ : }V_{n+1}-V_n &=& \ln(U_{n+1})-\ln(U_n) \\&=& \ln\left(\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\right) \\&=& \ln(e^{-n}) \\&=&-n \end{matrix}$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }V_{n+1}-V_n=-n}$

b) Montrons par récurrence que , pour tout entier naturel $n\text{ , }V_n=\dfrac{-n(n-1)}{2}$

Initialisation : Pour $n=0$ , on a : $V_0=\ln(U_0)=\ln(1)=0 \text{ et }-\dfrac{0\times(0-1)}{2}=0$ .
Donc : $V_0=\dfrac{-0\times(0-1)}{2}$

Hérédité : Soit $n\in\N$ fixé tel que $V_n=\dfrac{-n(n-1)}{2}$ , montrons que $V_n=\dfrac{-(n+1)n}{2}$ .
On a $V_{n+1}-V_n=-n$ , alors $V_{n+1}=-n+V_n$ .

$\begin{matrix}\text{ Donc : } V_{n+1}&=&-n+V_n \\&=& -n+\dfrac{-n(n-1)}{2} \\&=& \dfrac{-2n-n^2+n}{2}\\&=& \dfrac{-n^2-n}{2} \\&=& \dfrac{-(n+1)n}{2}\end{matrix}$

Donc : $V_{n+1}=\dfrac{-(n+1)n}{2}$

Conclusion : On conclut donc par récurrence , que :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }V_n=\dfrac{-n(n-1)}{2}}$

3-a) Pour tout entier naturel $n \text{ , on a }V_n=\ln(U_n)$ , donc $U_n=e^{V_n}$

Ou encore :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }U_n=e^{\frac{-n(n-1)}{2}}}$

b) On a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-n(n-1)}{2}=\lim_{n\to+\infty}-n^2=-\infty$ .

Et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$

Donc : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=\lim_{n\to+\infty}e^{\frac{-n(n-1)}{2}}=0$

On obtient :
$\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=0}$