Limites d'une suite monotone

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Propriété :

$1.$ Si une suite $\left(u_n\right)$ croissante converge vers un réel $\ell$ alors pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \leqslant \ell$.

$2.$ Si une suite $\left(u_n\right)$ décroissante converge vers un réel $\ell$ alors pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \geqslant \ell$.

(voir démonstration 3 du fichier dédié).

Théorème de convergence monotone :

$\circ\quad$ Toute suite croissante et majorée converge.

$\circ\quad$ Toute suite décroissante et minorée converge.

Remarque : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.

Théorème :

$\circ\quad$ Toute suite croissante et non majorée diverge.

$\circ\quad$ Toute suite décroissante et non minorée diverge.

Exemple : On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2+\dfrac{1}{n+1}$. On a $u_{n+1}-u_n = 2+\dfrac{1}{n+2}-\left(2+\dfrac{1}{n+1}\right)$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}= \dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1} \lt 0$ puisque $n+2\gt n+1$.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante. Il est clair que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\gt 2$. La suite est donc décroissante et minorée : elle converge.

Remarque : Le minorant trouvé n'est pas nécessairement la limite de la suite.

Théorème :

$\circ\quad$ Toute suite croissante et non majorée diverge.

$\circ\quad$Toute suite décroissante et non minorée diverge.

(voir démonstration 4 du fichier dédié).