Suite définie par récurrence : démonstration par récurrence et étude d’une suite associée

Soit $(U_n)$ la suite définie par : $U_0=0$ et pour tout entier naturel $n,\quad U_{n+1}=\dfrac13~U_n+n-1$.

1. a) Démontrons par récurrence que $\forall~n\geq~3,~U_n\geq~0$.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $n=3$, soit que : $U_3\geq~0$.

En effet,

$\bullet~\boxed{U_0=0}$

$\bullet~U_1=\dfrac13~U_0+0-1$

$\phantom{\bullet~U_1}=\dfrac13\times0+0-1$

$\phantom{\bullet~U_1}=-1$

$\Longrightarrow~\boxed{U_1=-1}$

$\bullet~U_2=\dfrac13~U_1+1-1$

$\phantom{\bullet~U_2}=\dfrac13\times(-1)$

$\phantom{\bullet~U_2}=-\dfrac13$

$\Longrightarrow~\boxed{U_2=-\dfrac13}$

$\bullet~U_3=\dfrac13~U_2+2-1$

$\phantom{\bullet~U_3}=\dfrac13\times(-\dfrac13)+1$

$\phantom{\bullet~U_3}=\dfrac89$

$\Longrightarrow~\boxed{U_3=\dfrac89~{\red{\geq~0}}}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre entier naturel $n\geq~3$ fixé, la propriété est vraie au rang $n$, alors elle est encore vraie au rang $n+1$.

Montrons donc que si pour un nombre entier naturel $n\geq~3$ fixé, $U_n\geq~0$, alors $U_{n+1}\geq~0$.

En effet,

$\left\lbrace\begin{matrix}U_n\geq0\\n\geq3\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac13~U_n\geq0\\n-1\geq2\end{matrix}\right.$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}U_n\geq0\\n\geq3\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac13~U_n\geq0\\n-1>0\end{matrix}\right.$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}U_n\geq0\\n\geq3\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac13~U_n+n-1\geq0$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}U_n\geq0\\n\geq3\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_{n+1}\geq0}\quad\text{car }U_{n+1}=\dfrac13~U_n+n-1$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\forall~n\geq~3,~U_n\geq~0$.

1. b) Démontrons par récurrence que $\forall~n\geq4,\quad U_n\geq~n-2$.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $n=4$, soit que : $U_4\geq2$.

En effet,

$U_4=\dfrac13~U_3+3-1$

$\phantom{U_4}=\dfrac13\times\dfrac89+2$

$\phantom{U_4}=\dfrac{62}{27}\approx2,3$

$\Longrightarrow~\boxed{U_4\geq2}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre entier naturel $n\geq4$ fixé, la propriété est vraie au rang $n$, alors elle est encore vraie au rang $n+1$.

Montrons donc que si pour un nombre entier naturel $n\geq4$ fixé, $U_n\geq n-2$, alors $U_{n+1}\geq(n+1)-2$, soit $U_{n+1}\geq n-1$.

En effet, nous avons montré dans la question précédente que $\forall~n\geq3,~U_n\geq0$.

Dès lors, pour tout entier naturel $n\geq4$,

$U_n\geq0\quad\Longrightarrow\quad\dfrac13~U_n\geq0$

$\phantom{U_n\geq0}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac13~U_n+n-1\geq n-1$

$\phantom{U_n\geq0}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_{n+1}\geq n-1}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\forall~n\geq4,\quad U_n\geq n-2$.

1. c) Nous devons en déduire la limite de la suite $(U_n)$.

En utilisant le théorème de comparaison, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}U_n\geq n-2\quad(\text{si }n\geq4)\\\lim\limits_{n\to+\infty}(n-2)=+\infty\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=+\infty}$

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n=12U_n-18n+45$.

3. a) Nous devons démontrer que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $\dfrac13$.

Pour tout entier naturel $n$,

$V_{n+1}=12~U_{n+1}-18(n+1)+45$

$\phantom{V_{n+1}}=12\left(\dfrac13~U_n+n-1\right)-18(n+1)+45$

$\phantom{V_{n+1}}=4~U_n+12n-12-18n-18+45$

$\phantom{V_{n+1}}=4~U_n-6n+15$

$\phantom{V_{n+1}}=\dfrac13(12~U_n-18n+45)$

$\phantom{V_{n+1}}=\dfrac13~V_n$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\forall~n\in\N,\quad V_{n+1}=\dfrac13~V_n}$

$\underline{\text{Remarque}}:~V_0=12~U_0-18\times0+45=0-0+45\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V_0=45}$

Par conséquent la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac13$ dont le premier terme est $V_0=45$.

2. b) Nous devons en déduire l'expression de $V_n$ en fonction de $n$ puis celle de $U_n$ en fonction de $n$.

Le terme général de la suite $(V_n)$ est $V_n=V_0\times q^n$.

Dès lors,

$\boxed{V_n=45\times\left(\dfrac13\right)^n}$

Nous en déduisons que :

$\left\lbrace\begin{matrix}V_n=12U_n-18n+45\\V_n=45\times\left(\dfrac13\right)^n\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad 12U_n-18n+45=45\times\left(\dfrac13\right)^n$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}V_n=12U_n-18n+45\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 12U_n=18n-45+45\times\left(\dfrac13\right)^n$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}V_n=12U_n-18n+45\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad U_n=\dfrac{18}{12}n-\dfrac{45}{12}+\dfrac{45}{12}\times\left(\dfrac13\right)^n$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}V_n=12U_n-18n+45\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_n=\dfrac32~n-\dfrac{15}{4}+\dfrac{15}{4}\times\left(\dfrac13\right)^n}$