Étude complète d’une fonction exponentielle et calcul d'aire (2)

Soit la fonction numérique $f$ qui à tout réel $x$ associe $f(x)=x\text e^x - 1$.
On désigne par $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, unité $2~\text{cm}$.

1. a) Nous devons donner l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

Aucune condition n'est imposée sur $x$.
Donc $\boxed{D_f=\R}$.

1. b) Nous devons calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.

$\lim\limits_{x\to-\infty}x~\text e^x=0\quad\text{(croissances comparées)}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}(x~\text e^x-1)=-1$
$\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}x,\text e^x=0\quad\text{(croissances comparées)}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1}$

Graphiquement, nous déduisons que la courbe $C_f$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $-\infty$ d'équation $y=-1$.

2. Nous devons calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$, puis $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et interpréter graphiquement les résultats.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x,\text e^x=+\infty$
$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(x,\text e^x-1)=+\infty$
$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x\text e^x-1}{x}$
$\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x\text e^x}{x}-\dfrac{1}{x}\right)$
$\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\text e^x-\dfrac{1}{x}\right)$

$\text{Or }\quad \left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac 1x=0 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\text e^x-\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$
$\text{D'où }\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Graphiquement (interprétation hors programme) , nous déduisons que la courbe $C_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

3. a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$.
   Nous devons calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$, puis étudier son signe.

Pour tout réel $x$,

$f'(x)=(x\text e^x-1)'$
$\phantom{f'(x)}=(x\text e^x)'-0$
$\phantom{f'(x)}=x'\times \text e^x+x\times (\text e^x)'$
$\phantom{f'(x)}=1\times \text e^x+x\times \text e^x$

$\phantom{f'(x)}=\text e^x+x,\text e^x$
$\phantom{f'(x)}=(1+x)~\text e^x$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\forall,x\in\R,\quad f'(x)=(1+x)~\text e^x}$

L'exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f'(x)$ est le signe de $1+x$.

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de $f'(x)$.

Par conséquent,

$\bullet$ si $x\in~]-\infty\;;\;-1[$, alors $f'(x)< 0$
$\bullet$ si $x\in\,]-1\;;\;+\infty[$, alors $f'(x)> 0$
$\bullet$ $f'(-1)=0$.

3. b) Nous devons dresser le tableau des variations de $f$.

3. c) Nous devons donner une équation de la tangente $(T)$ à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.

L'équation de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$, soit de la forme $\boxed{y=f'(0)x+f(0)}$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}f(x)=x,\text e^x-1\\f'(x)=(1+x)\,\text e^x\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\times\text e^0-1\\f'(0)=(1+0)\,\text e^0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=-1\\f'(0)=1\end{matrix}\right.$

D'où une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$ est $\boxed{y=x-1}$

4. Nous devons construire la tangente $(T)$ et la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

5. Soit la fonction $F$ définie par $F(x)=x~\text e^x -\text e^x - x$.

6. a) Nous devons justifier que $F$ est une primitive de $f$ dans $D_f$.

La fonction $F$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout $x\in \R$,

$F'(x)=\Big(x,\text e^x -\text e^x - x\Big)'$
$\phantom{F'(x)}=(x,\text e^x)' -\text e^x -1$
$\phantom{F'(x)}=x'\times\text e^x+x\times(\text e^x)' -\text e^x -1$
$\phantom{F'(x)}=1\times\text e^x+x\times\text e^x -\text e^x -1$

$\phantom{F'(x)}=\text e^x+x,\text e^x -\text e^x -1$
$\phantom{F'(x)}=x~\text e^x -1$
$\phantom{F'(x)}=f(x)$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\forall~x\in\R~\quad F'(x)=f(x)}$

Par conséquent, $F$ est une primitive de $f$ dans $D_f=\R$.

5. b) Nous devons calculer en cm² l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=\ln 4$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[1\;;\;\ln 4]$ (voir question 3. b)
De plus, $f(1)=\text e-1 >0$.

Nous en déduisons que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[1\;;\;\ln 4]$

Donc l'aire demandée se calcule en unité d'aire par $\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx$.

$\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx=\Big[F(x)\Big]_1^{\ln4}$
$\phantom{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=\Big[x\,\text e^x -\text e^x - x\Big]_1^{\ln4}$
$\phantom{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=\Big({\ln4}\,\text e^{\ln4} -\text e^{\ln4} - {\ln4}\Big) - \Big( 1\,\text e^1 -\text e^1 - 1\Big)$
$\phantom{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x),\text dx}=\Big(4\ln4 -4 - {\ln4}\Big) - \Big( \text e -\text e - 1\Big)$

$\phantom{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x),\text dx}=(3\ln4 -4) - ( - 1)$
$\phantom{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x),\text dx}=3\ln4 -4+1$
$\phantom{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x),\text dx}=3\ln4 -3$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx=3(\ln4 -1)\text{ u.a.}}$

Or l'unité de longueur est $2~\text{cm}$ et par suite, l'unité d'aire est $4~\text{cm}^2$.

Par conséquent, l'aire demandée est égale à $4\times3(\ln4 -1)\text{ cm}^2$, soit $\boxed{12(\ln4 -1)\text{ cm}^2}$.