Théorème fondamental des intégrales

Théorème : Soit $f$ une fonction continue sur $I$, $a\in I$ et positive.

$\Phi : x\mapsto \displaystyle \int_a^x f(t)\text dt$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.

Proposition :

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$, $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ et $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a,b]$. Le réel $F(b)-F(a)$ ne dépend pas de la primitive choisie. On a alors : $\boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)}$

Remarque : La différence $F(b)-F(a)$ est souvent notée $\left[F(x)\right]_a^b$ , on écrit donc : $\boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}$

Valeur moyenne :

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;b]$. On définit la valeur moyenne par :

$\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x$

Exemple :

Calcul de $A=\displaystyle \int_{-1}^1 4x^3+3x^2-2x+6\text{ d}x$

$A= \left[\dfrac{4x^4}{4}+\dfrac{3x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+6x\right]_{-1}^1$

$A=\left[x^4+x^3-x^2+6x\right]_{-1}^1$

$A= \left[1^4+1^3-1^2+6\times 1\right]-\left[(-1)^4+(-1)^3-(-1)^2+6\times(-1)\right]$

$A=14$.