Définition géométrique de l'intégrale

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I- Intégrale d'une fonction continue positive

Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et soit ff une fonction continue et positive sur l'intervalle [a,b][a,b]. On se propose de déterminer l'aire délimitée par la courbe représentative de la fonction ff notée Cf\mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=bx=a \text{ et } x=b. Autrement dit, cette aire représente l'ensemble des points M(x,y)M(x,y) dont les coordonnées vérifient : axb et 0yf(x)a\leq x\leq b \text{ et } 0\leq y\leq f(x).

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Commençons par présenter l'unité d'aire dans un repère, c'est l'une des notions fondamentales de ce cours :

Définition : Unité d'aire L'unité d'aire dans un repère (O;i,j)\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) est l'aire du rectangle OIKJOIKJI(1,0),J(0,1) et K(1,1)I(1,0),J(0,1)\text{ et } K(1,1), elle est souvent notée U.A U.A 1U.A=OI×OJ=ij1U.A=OI\times OJ = ||\overrightarrow{i}||||\overrightarrow{j}||

Exemples : Dans le cas d'un repère orthonormé (O;i,j)\left(O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) tel que i=j=1 cm : 1U.A=1 cm2||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=1\text{ cm} \text{ : } 1U.A=1\text{ cm}^2 Dans la figure précédente, on a j=1 cm et i=2 cm , donc : 1U.A=2 cm2||\overrightarrow{j}||=1\text{ cm} \text{ et }||\overrightarrow{i}||=2\text{ cm} \text{ , donc : } 1U.A=2\text{ cm}^2

Définition : Intégrale d'une fonction continue positive Soit ff une fonction continue et positive sur l'intervalle [a,b][a,b]. On appelle l'intégrale de la fonction ff de aa à bb et on note abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x l'aire A\mathcal{A} délimitée par la courbe représentative de la fonction ff, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=bx=a \text{ et } x=b en unité d'aire U.AU.A.

Exemple : Soit ff la fonction linéaire définie sur R\mathbb{R} par: f(x)=xf(x)=x représentée graphiquement sur deux repères différents :

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L'aire hachurée A\mathcal{A} en U.AU.A est dans les deux cas égale à: 02f(x)dx=A=02xdx=2OI×2OJ2=2U.A\displaystyle \int_0^2 f(x)\text{d}x=\mathcal{A}= \displaystyle \int_0^2 x\text{d}x=\dfrac{2OI\times 2OJ}{2}=2 U.A

Par contre, en  cm2\text{ cm}^2, les deux aires ne seront plus égales parce que les deux repères n'ont pas la même U.AU.A:

L'unité d'aire dans le cas de la première figure : 1U.A=ij=1×1=1 cm21U.A=||\overrightarrow{i}||||\overrightarrow{j}||=1\times 1= 1\text{ cm}^2, ce qui veut dire que dans ce cas: A=2U.A=2 cm2\mathcal{A}=2 U.A=2 \text{ cm}^2

L'unité d'aire dans le cas de la seconde figure : 1U.A=ij=2×1=2 cm21U.A=||\overrightarrow{i}||||\overrightarrow{j}||=2\times 1= 2\text{ cm}^2, donc: A=2U.A=2×2 cm2=4 cm2\mathcal{A}=2 U.A=2 \times 2 \text{ cm}^2=4\text{ cm}^2

Remarque : La variable xx dans la notation abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x est dite muette, elle intervient dans le calcul comme on va le voir dans les paragraphes suivants mais pas dans le résultat final, on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable :

abf(x)dx=abf(t)dt=abf(y)dy=abf(u)du=\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x= \displaystyle \int_a^b f(t)\text{d}t=\displaystyle \int_a^b f(y)\text{d}y=\displaystyle \int_a^b f(u)\text{d}u=\cdots

II. Méthode des rectangles

Bien souvent, on ne connaît pas de primitive de la fonction proposée, et on peut par exemple utiliser la méthode des rectangles pour approcher l'aire sous la courbe. Nous allons appliquer cette méthode sur la fonction carré, tout en sachant que dans ce cas particulier, nous saurions calculer l'aire exacte.

Pour estimer l'aire sous la courbe y=x2y=x^2 sur l'intervalle [0,1][0,1], on divise cet intervalle en nn sous-intervalles de même longueur 1n\dfrac{1}{n}. Sur chaque sous-intervalle, on construit un rectangle de hauteur égale à la valeur de la fonction en un point choisi, soit l'extrémité gauche par exemple, ou l'extrémité droite, suivant que l'on désire une valeur inférieure à l'aire, une valeur supérieure, en fonction également de la croissance de la courbe étudiée.

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Par cette approche graphique, on trouve que l'aire sous la courbe est comprise entre a=0,25a=0,25 et b=0,42b=0,42. Plus le nombre d'intervalles sera grand, plus l'encadrement sera meilleur. Ici, l'intervalle [0;1][0;1] a été divisé en 66.

En réalité les expressions de aa et bb sont respectivement :

a=16[f(06)+f(16)+f(26)++f(56)]0,25a=\dfrac 16\left[f(\frac 06)+f(\frac 16)+f(\frac 26)+\cdots+ f(\frac 56)\right]\approx 0,25

et b=16[f(16)+f(26)++f(56)+f(66)]0,42b=\dfrac 16\left[f(\frac 16)+f(\frac 26)+\cdots+ f(\frac 56)+f(\frac 66)\right]\approx 0,42

a=sn=k=0n1f(kn)×1na=s_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)\times\dfrac{1}{n} et b=Sn=k=1nf(kn)×1nb=S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)\times\dfrac{1}{n}

Si nous prenons n=10n=10, nous obtenons cet encadrement : 0,29<A<0,380,29\lt \mathcal A \lt 0,38.

picture-in-textEt lorsque nn devient très grand, on obtient
limn+Sn=01x2dx\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=\begin{aligned}\int_0^1{x^2}\text{d}x\end{aligned} =13=\dfrac{1}{3}.

On fait ainsi la somme de cette infinité d’aire et on remplace alors le symbole Σ\Sigma par le symbole \displaystyle\int (passage du discret au continue).


Merci à Panter et à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.