I- Intégrale d'une fonction continue positive
Soient deux réels tels que et soit une fonction continue et positive sur l'intervalle . On se propose de déterminer l'aire délimitée par la courbe représentative de la fonction notée , l'axe des abscisses et les droites d'équations . Autrement dit, cette aire représente l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient : .
Commençons par présenter l'unité d'aire dans un repère, c'est l'une des notions fondamentales de ce cours :
Définition : Unité d'aire L'unité d'aire dans un repère est l'aire du rectangle où , elle est souvent notée
Exemples : Dans le cas d'un repère orthonormé tel que Dans la figure précédente, on a
Définition : Intégrale d'une fonction continue positive Soit une fonction continue et positive sur l'intervalle . On appelle l'intégrale de la fonction de à et on note l'aire délimitée par la courbe représentative de la fonction , l'axe des abscisses et les droites d'équations en unité d'aire .
Exemple : Soit la fonction linéaire définie sur par: représentée graphiquement sur deux repères différents :
L'aire hachurée en est dans les deux cas égale à:
Par contre, en , les deux aires ne seront plus égales parce que les deux repères n'ont pas la même :
L'unité d'aire dans le cas de la première figure : , ce qui veut dire que dans ce cas:
L'unité d'aire dans le cas de la seconde figure : , donc:
Remarque : La variable dans la notation est dite muette, elle intervient dans le calcul comme on va le voir dans les paragraphes suivants mais pas dans le résultat final, on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable :
II. Méthode des rectangles
Bien souvent, on ne connaît pas de primitive de la fonction proposée, et on peut par exemple utiliser la méthode des rectangles pour approcher l'aire sous la courbe. Nous allons appliquer cette méthode sur la fonction carré, tout en sachant que dans ce cas particulier, nous saurions calculer l'aire exacte.
Pour estimer l'aire sous la courbe sur l'intervalle , on divise cet intervalle en sous-intervalles de même longueur . Sur chaque sous-intervalle, on construit un rectangle de hauteur égale à la valeur de la fonction en un point choisi, soit l'extrémité gauche par exemple, ou l'extrémité droite, suivant que l'on désire une valeur inférieure à l'aire, une valeur supérieure, en fonction également de la croissance de la courbe étudiée.
Par cette approche graphique, on trouve que l'aire sous la courbe est comprise entre et . Plus le nombre d'intervalles sera grand, plus l'encadrement sera meilleur. Ici, l'intervalle a été divisé en .
En réalité les expressions de et sont respectivement :
et
et
Si nous prenons , nous obtenons cet encadrement : .
Et lorsque devient très grand, on obtient
.
On fait ainsi la somme de cette infinité d’aire et on remplace alors le symbole par le symbole (passage du discret au continue).
Merci à Panter et à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.