Calcul d'aires

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I. Intégrale d'une fonction continue négative

Définition : Intégrale d'une fonction continue négative

Soit ff une fonction continue et négative sur l'intervalle [a,b][a,b]. On appelle l'intégrale de la fonction ff de aa à bb et on note abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x l'opposé de l'aire A\mathcal{A} délimitée par la courbe représentative de la fonction ff, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=bx=a \text{ et } x=b en unité d'aire U.AU.A (appelée aussi l'aire algébrique). abf(x)dx=A\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}

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Exemple : Prenons l'exemple de la fonction linéaire ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=xf(x)=x, notons A\mathcal{A} l'aire hachurée.

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20f(x)dx=A=2OI×2OJ2=2U.A\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}= -\dfrac{2OI\times 2OJ}{2}=-2 U.A

II. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Soit ff une fonction continue sur l'intervalle [a,b][a,b]. On appelle l'intégrale de la fonction ff de aa à bb et on note abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x la somme des aires algébriques délimitées par la courbe représentative de la fonction ff, l'axe des abscisses et les droites définissants les sous-intervalles dans lesquels la fonction est de signe constante.

Autrement dit, abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x est égale à la différence entre : La somme des aires délimitées par la courbe représentative de ff et l'axe des abscisses quand ff est positive. Et la somme des aires délimitées par la courbe représentative de ff et l'axe des abscisses lorsque ff est négative.

Illustration graphique :

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abf(x)dx=A1+A2A3\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_3

Exemple : La fonction linéaire ff définie sur R\mathbb{R} par: f(x)=2xf(x)=2x. Trouver 32f(x)dx\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x

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On remarque que : Sur l'intervalle [3;0][-3;0], la fonction f est négative et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée A1\mathcal{A}_1 se trouve en dessous de l'axe des abscisses, elle est donc négative. Sur l'intervalle [0;2][0;2], la fonction f est positive et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée A2\mathcal {A}_2 se trouve en dessus de l'axe des abscisses, elle est donc positive.

32f(x)dx=A1+A2=3×(2×3)2+2×(2×2)2=9+4=5U.A\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2=-\dfrac{3\times (2\times 3)}{2}+\dfrac{2\times (2\times 2)}{2}=-9+4=-5 U.A

III. Aire entre deux courbes

Soit ffet gg deux fonctions continues sur [a;b][a\,;b] tel quefgf\ge g .

Alors l’aire du domaine délimité par les droites d’équations x=ax=aet x=bx=b et les

courbes CfC_fet CgC_g est égal à : ab(f(x)g(x))dx\displaystyle\int_a^b(f(x)-g(x))\text dx.

Remarque : Si fgf-g n’est pas de signe constant sur [a;b][a\,;b], on partage[a;b][a\,;b] en

intervalles sur lesquels fgf-g a un signe constant.

Exemple :

Soit ffet gg deux fonctions définies sur R\mathbb R par : f(x)=x2xf(x)=x^2-x et g(x)=3xx2g(x)=3x-x^2

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Après avoir étudié la position relative des deux courbes et leurs intersections, on obtient :

A=02g(x)f(x)dx=024x2x2dx\mathcal A=\displaystyle\int_0^2 g(x)-f(x)\text dx=\displaystyle\int_0^2 4x-2x^2\text dx

A=[2x223x3]02=83 u.a\mathcal A=\left[2x^2-\dfrac 23 x^3\right]_0^2=\dfrac 83 \text{ u.a}