I. Intégrale d'une fonction continue négative
Définition : Intégrale d'une fonction continue négative
Soit une fonction continue et négative sur l'intervalle . On appelle l'intégrale de la fonction de à et on note l'opposé de l'aire délimitée par la courbe représentative de la fonction , l'axe des abscisses et les droites d'équations en unité d'aire (appelée aussi l'aire algébrique).
Exemple : Prenons l'exemple de la fonction linéaire définie sur par : , notons l'aire hachurée.
II. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Soit une fonction continue sur l'intervalle . On appelle l'intégrale de la fonction de à et on note la somme des aires algébriques délimitées par la courbe représentative de la fonction , l'axe des abscisses et les droites définissants les sous-intervalles dans lesquels la fonction est de signe constante.
Autrement dit, est égale à la différence entre : La somme des aires délimitées par la courbe représentative de et l'axe des abscisses quand est positive. Et la somme des aires délimitées par la courbe représentative de et l'axe des abscisses lorsque est négative.
Illustration graphique :
Exemple : La fonction linéaire définie sur par: . Trouver
On remarque que : Sur l'intervalle , la fonction f est négative et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée se trouve en dessous de l'axe des abscisses, elle est donc négative. Sur l'intervalle , la fonction f est positive et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée se trouve en dessus de l'axe des abscisses, elle est donc positive.
III. Aire entre deux courbes
Soit et deux fonctions continues sur tel que .
Alors l’aire du domaine délimité par les droites d’équations et et les
courbes et est égal à : .
Remarque : Si n’est pas de signe constant sur , on partage en
intervalles sur lesquels a un signe constant.
Exemple :
Soit et deux fonctions définies sur par : et
Après avoir étudié la position relative des deux courbes et leurs intersections, on obtient :