Famille de fonction, suite numérique et intégration par parties

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0\;;\;1]$ par : $f_n (x) = x^n \text e^{1-x}$.

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0\;;\;1]$.

Partie A

On étudie la fonction $f_1$ définie sur $[0\;;_;1]$ par : $f_1 (x) = x\text e^{1-x}$.

1. Nous devons montrer que $f_1'(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0\;;\;1[$.

Pour tout réel $x$ de $[0\;;\;1[$,

$f_1'(x)=\Big(x\text e^{1-x}\Big)'$
$\phantom{f_1'(x)}=x'\times\text e^{1-x}+x\times(\text e^{1-x})'$
$\phantom{f_1'(x)}=1\times\text e^{1-x}+x\times(-\text e^{1-x})$
$\phantom{f_1'(x)}=(1-x)\,\text e^{1-x}$

$\Longrightarrow\ \boxed{\forall_,x\in[0\;;_;1[,\quad f_1'(x)=(1-x)\,\text e^{1-x}}$

$\text{Or }x\in[0\;;\;1[\ \Longrightarrow\ x<1$
$\phantom{\text{Or }x\in[0;;;1[}\Longrightarrow\ -x>-1$
$\phantom{\text{Or }x\in[0;;;1[}\Longrightarrow\ \boxed{1-x>0}$

De plus l'exponentielle est strictement positive sur $\R$ et en particulier sur $[0\;;\;1[$.

Dès lors, pour tout réel $x$ de $[0\;;\;1[$,
$\left\lbrace\begin{matrix}1-x>0\\ \text e^{1-x}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow (1-x)\,\text e^{1-x}>0\Longrightarrow\boxed{f_1'(x)>0}$

Par conséquent, $f_1'(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0\;;\;1[$.

2. Nous devons en déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0\;;\;1]$.

Puisque $f_1'(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de$[0\;;\;1]$, nous en déduisons que la fonction $f_1$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0\;;\;1]$.

D'où le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0\;;\;1]$.

3. Nous devons en déduire que l'équation $f_1(x)=0,1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0\;;\;1]$.

La fonction $f_1$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0\;;\;1]$.

De plus, $\left\lbrace\begin{matrix}f_1(0)=0<0,1\\ f_1(1)=1>0,1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{0,1\in[f_1(0)\;;_;f_1(1)]}$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha\in[0\;;\;1]$ tel que $f_1(\alpha)=0,1$.

Par conséquent, l'équation $f_1(x)=0,1$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0\;;\;1]$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par
$u_n=\displaystyle\int_{0}^{1}f_n(x)\,\text dx$, c'est-à-dire
$u_n=\displaystyle\int_{0}^{1}x^n\text e^{1-x}\,\text dx$.

On admet que $u_1=\text e-2$.

1. a) Nous devons justifier que pour tout $x\in[0\;;\;1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $0\le x^{n+1}\le x^n$.

En effet,

$x\in[0\;;\;1]\Longrightarrow 0\le x\le 1$
$\phantom{x\in[0;;;1]}\Longrightarrow 0\times x^n\le x\times x^n\le 1\times x^n\quad(\text{car }x^n\ge0)$
$\phantom{x\in[0;;;1]}\Longrightarrow\boxed{0\le x^{n+1}\le x^n}$

1. b) Nous devons en déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $0\le u_{n+1}\le u_n$.

Pour tout réel $x$,

$\left\lbrace\begin{matrix}0\le x^{n+1}\le x^n\\ \text e^{1-x}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow 0\le x^{n+1}\text e^{1-x}\le x^n\text e^{1-x}$
$\Longrightarrow 0\le\displaystyle\int_0^1x^{n+1}\text e^{1-x}\text dx\le\displaystyle\int_0^1x^n\text e^{1-x}\text dx$
$\Longrightarrow\boxed{0\le u_{n+1}\le u_n}$

1. c) Nous devons montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

Nous avons montré dans la question 1. b) que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0.
Par le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que cette suite $(u_n)$ est convergente.

2. a) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $u_{n+1}=(n+1)u_n-1$.

Calculons $u_{n+1}=\displaystyle\int_0^1x^{n+1}\text e^{1-x}\text dx$.

Formule de l'intégrale par parties :
$\displaystyle\int_0^1u(x)v'(x)\text dx=\left[u(x)v(x)\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1u'(x)v(x)\text dx$

$\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x^{n+1}\Longrightarrow u'(x)=(n+1)x^n\\ v'(x)=\text e^{1-x}\Longrightarrow v(x)=-\text e^{1-x}\end{matrix}\right.$

Dès lors
$u_{n+1}=\Big[-x^{n+1}\text e^{1-x}\Big]_0^1+(n+1)\displaystyle\int_0^1x^n\text e^{1-x}\text dx$
$=(-1-0)+(n+1)u_n$
$=-1+(n+1)u_n$

$\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=(n+1)u_n-1}$

2. b) Ci-dessous le script Python complété pour que la fonction suite() renvoie la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{1}x^8\text e^{1-x}\text dx$.

3. a) Nous devons démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $u_n\le\dfrac{\text e}{n+1}$.

Pour tout $x\in[0\;;\;1]$, pour tout $n\in\N^*$,

$0\le x\le 1\Longrightarrow 1-x\le1$
$\Longrightarrow\text e^{1-x}\le\text e$
$\Longrightarrow x^n\text e^{1-x}\le x^n\text e$

$\Longrightarrow\displaystyle\int_0^1x^n\text e^{1-x}\text dx\le\text e\displaystyle\int_0^1x^n\text dx$
$\Longrightarrow\displaystyle\int_0^1x^n\text e^{1-x}\text dx\le\dfrac{\text e}{n+1}$

$\Longrightarrow\boxed{u_n\le\dfrac{\text e}{n+1}}$

3. b) Nous devons en déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Appliquons le théorème d'encadrement.

$\left\lbrace\begin{matrix}0\le u_n\le\dfrac{\text e}{n+1}\\ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\text e}{n+1}=0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}$