Développer, factoriser

Exercice 1

On reprend la question : $A=(x-3)(x+3)-2(x-3)$.

a) Factoriser $A$
On repère un facteur commun : $(x-3)$.

$A=(x-3)(x+3)-2(x-3)$
$A=(x-3)\big((x+3)-2\big)$
$A=(x-3)(x+1)$

👉 Conseil : quand tu vois la même parenthèse répétée, pense tout de suite à la mettre en facteur.

b) Développer $A$
On peut partir de la forme factorisée $A=(x-3)(x+1)$.

$(x-3)(x+1)=x(x+1)-3(x+1)$
$=x^2+x-3x-3$
$=x^2-2x-3$

Donc $A=x^2-2x-3$.

c) Calculer $A$ pour $x=-1$ et $x=0$
On choisit la forme la plus adaptée.

Pour $x=-1$, la forme factorisée est très pratique car elle contient $(x+1)$.

$A=(x-3)(x+1)$
$A=(-1-3)(-1+1)$
$A=(-4)\times0$
$A=0$

👉 Conseil : si tu obtiens un facteur $0$, tu peux conclure immédiatement.

Pour $x=0$, on peut utiliser la forme développée $A=x^2-2x-3$.

$A=0^2-2\times0-3$
$A=-3$

👉 Conseil : pour remplacer une valeur, choisis la forme la plus adaptée.

Exercice 2

On reprend l'expression : $E=(2x-3)^2+(2x-7)(2x-3)$.

1. Développer et réduire $E$
   On développe chaque partie.

$(2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)$
$=(2x)(2x)+(2x)(-3)+(-3)(2x)+(-3)(-3)$
$=4x^2-6x-6x+9$
$=4x^2-12x+9$

Ensuite :

$(2x-7)(2x-3)$
$=(2x)(2x)+(2x)(-3)+(-7)(2x)+(-7)(-3)$
$=4x^2-6x-14x+21$
$=4x^2-20x+21$

Donc :

$E=(4x^2-12x+9)+(4x^2-20x+21)$
$E=8x^2-32x+30$

👉 Conseil : regroupe d’abord les termes en $x^2$, puis ceux en $x$, puis les nombres.

2. Factoriser $E$
   On revient à l’expression de départ et on repère le facteur commun $(2x-3)$.

$E=(2x-3)^2+(2x-7)(2x-3)$
$E=(2x-3)(2x-3)+(2x-7)(2x-3)$
$E=(2x-3)\big((2x-3)+(2x-7)\big)$
$E=(2x-3)(4x-10)$

On peut simplifier :

$4x-10=2(2x-5)$

Donc :

$E=2(2x-3)(2x-5)$

👉 Conseil : après avoir factorisé, vérifie toujours si un facteur numérique peut encore sortir.

3. Calculer $E$ pour $x=2$
   La forme factorisée est pratique.

$E=2(2x-3)(2x-5)$
$E=2(4-3)(4-5)$
$E=2\times1\times(-1)$
$E=-2$

Exercice 3

On reprend : $B=(x+5)(2x-1)+3(x+5)$.

a) Développer et réduire $B$
On développe le premier produit :

$(x+5)(2x-1)=x(2x-1)+5(2x-1)$
$=2x^2-x+10x-5$
$=2x^2+9x-5$

Ensuite on ajoute $3(x+5)$ :

$3(x+5)=3x+15$

Donc :

$B=2x^2+9x-5+3x+15$
$B=2x^2+12x+10$

👉 Conseil : fais les développements dans un ordre propre, sinon tu perds facilement un signe.

b) Factoriser $B$
On repère le facteur commun $(x+5)$ dans l’expression de départ.

$B=(x+5)(2x-1)+3(x+5)$
$B=(x+5)\big((2x-1)+3\big)$
$B=(x+5)(2x+2)$

On peut simplifier :

$2x+2=2(x+1)$

Donc :

$B=2(x+5)(x+1)$

👉 Conseil : pense à factoriser encore si tu vois une parenthèse du type $2x+2$.

c) Calculer $B$ pour $x=-2$
On prend la forme factorisée.

$B=2(x+5)(x+1)$
$B=2(3)(-1)$
$B=-6$

Exercice 4

On reprend : $C=(3x-4)^2-(3x-4)(x+2)$.

a) Développer et réduire $C$
On développe :

$(3x-4)^2=(3x-4)(3x-4)$
$=(3x)(3x)+(3x)(-4)+(-4)(3x)+(-4)(-4)$
$=9x^2-12x-12x+16$
$=9x^2-24x+16$

Deuxième produit :

$(3x-4)(x+2)$
$=(3x)(x)+(3x)(2)+(-4)(x)+(-4)(2)$
$=3x^2+6x-4x-8$
$=3x^2+2x-8$

Donc :

$C=(9x^2-24x+16)-(3x^2+2x-8)$
$C=9x^2-24x+16-3x^2-2x+8$
$C=6x^2-26x+24$

👉 Conseil : enlève la parenthèse en changeant tous les signes du second bloc.

b) Factoriser $C$
On repère le facteur commun $(3x-4)$ dans l’expression de départ.

$C=(3x-4)^2-(3x-4)(x+2)$
$C=(3x-4)\big((3x-4)-(x+2)\big)$
$C=(3x-4)\big(3x-4-x-2\big)$
$C=(3x-4)(2x-6)$

On peut simplifier :

$2x-6=2(x-3)$

Donc :

$C=2(3x-4)(x-3)$

👉 Conseil : quand tu as un carré puis un produit avec la même parenthèse, la factorisation est souvent immédiate.

c) Calculer $C$ pour $x=1$
On prend la forme factorisée.

$C=2(3x-4)(x-3)$
$C=2(3-4)(-2)$
$C=2(-1)(-2)$
$C=4$