La distributivité

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I. Distributivité de la multiplication

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

Pour n'importe quels nombres kk, aa et bb, on a :

k×(a+b)=k×a+k×bk \times (a+b) = k \times a + k \times b ou k(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kb

k×(ab)=k×ak×bk \times (a-b) = k \times a - k \times b ou k(ab)=kakbk(a-b)=ka-kb

Passer de k×(a+b)k \times (a+b) à ka+kbka+kb se dit développer l'expression.

Passer de ka+kbka+kb à k×(a+b)k \times (a+b) se dit factoriser l'expression.

Exemples :

7×(x4)=7×x+7×(4)=7×x28=7x287 \times (x-4)=7 \times x + 7 \times (-4) = 7 \times x - 28=7x-28

10x2+40x=(10x)x+(10x)×4=10x(x+4)10x^2+40x=(10x)x+(10x) \times 4=10x(x+4)

6x6=6×x6×1=6(x1)6x-6=6 \times x - 6 \times 1 = 6(x-1)

II. Réduction d'une expression littérale

Réduire une expression, c'est trouver une expression égale avec le moins de termes possible.

On utilise la distributivité pour simplifier l'expression quand cela est possible :

15x+3x8x=15×x+3×x8×x=(15+38)×x=10×x=10x15x+3x-8x=15 \times x+3 \times x - 8 \times x = (15+3-8) \times x=10 \times x = 10x

Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.

Exemple :

A=3x32x2+x75x3+5x2+4x+11A=3x^3-2x^2+x-7-5x^3+5x^2+4x+11

On regroupe les cubes, les carrés, les xx simples et les nombres :

A=3x35x32x2+5x2+x+4x7+11A=3x^3-5x^3-2x^2+5x^2+x+4x-7+11

On applique la distributivité :

A=(35)x3+(2+5)x2+(1+4)x+(7+11)A=(3-5)x^3+(-2+5)x^2+(1+4)x+(-7+11)

A=2x3+3x2+5x+4A=-2x^3+3x^2+5x+4

III. Supprimer une parenthèse précédée du signe +

Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse.

a+(b+c)=a+b+ca+(b+c)=a+b+c

Exemples :

2x+(3+5x)=2x+3+5x=(2+5)x+3=7x+32x+(3+5x)=2x+3+5x=(2+5)x+3=7x+3

7x+(35x)=7x+(3)5x=(75)x3=2x37x+(-3-5x)=7x+(-3)-5x=(7-5)x-3=2x-3

IV. Supprimer une parenthèse précédée du signe -

Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.

a(b+c)=abca-(b+c)=a-b-c

a(bc)=ab+ca-(b-c)=a-b+c

Exemples :

2x(2x+3y)=2x2x3y=3y2x-(2x+3y)=2x-2x-3y=-3y

3x(75x)=3x7+5x=(3+5)x7=2x7-3x-(7-5x)=-3x-7+5x=(-3+5)x-7=2x-7