I. Distributivité de la multiplication
La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Pour n'importe quels nombres k, a et b, on a :
k×(a+b)=k×a+k×b ou k(a+b)=ka+kb
k×(a−b)=k×a−k×b ou k(a−b)=ka−kb
Passer de k×(a+b) à ka+kb se dit développer l'expression.
Passer de ka+kb à k×(a+b) se dit factoriser l'expression.
Exemples :
7×(x−4)=7×x+7×(−4)=7×x−28=7x−28
10x2+40x=(10x)x+(10x)×4=10x(x+4)
6x−6=6×x−6×1=6(x−1)
II. Réduction d'une expression littérale
Réduire une expression, c'est trouver une expression égale avec le moins de termes possible.
On utilise la distributivité pour simplifier l'expression quand cela est possible :
15x+3x−8x=15×x+3×x−8×x=(15+3−8)×x=10×x=10x
Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.
Exemple :
A=3x3−2x2+x−7−5x3+5x2+4x+11
On regroupe les cubes, les carrés, les x simples et les nombres :
A=3x3−5x3−2x2+5x2+x+4x−7+11
On applique la distributivité :
A=(3−5)x3+(−2+5)x2+(1+4)x+(−7+11)
A=−2x3+3x2+5x+4
III. Supprimer une parenthèse précédée du signe +
Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse.
a+(b+c)=a+b+c
Exemples :
2x+(3+5x)=2x+3+5x=(2+5)x+3=7x+3
7x+(−3−5x)=7x+(−3)−5x=(7−5)x−3=2x−3
IV. Supprimer une parenthèse précédée du signe -
Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.
a−(b+c)=a−b−c
a−(b−c)=a−b+c
Exemples :
2x−(2x+3y)=2x−2x−3y=−3y
−3x−(7−5x)=−3x−7+5x=(−3+5)x−7=2x−7