Des suites arithmétiques (3)

Exercice 1

$u_5 = u_1 + (5 - 1)r$, donc $u_1 = u_5 - 4r = 7 - 4 \times 2 = 7 - 8 = -1$
Donc : $u_1 = -1$

$u_{25} = u_5 + (25 - 5)r = 7 + 20 \times 2 = 7 + 40 = 47$
Donc : $u_{25} = 47$

$u_{100} = u_5 + (100 - 5)r = 7 + 95 \times 2 = 7 + 190 = 197$
Donc : $u_{100} = 197$

Exercice 2

$u_8 = u_3 + (8 - 3)r = u_3 + 5r$, donc : $0 = 12 + 5r$
soit : $r = -\frac{12}{5}$
$u_3 = u_0 + 3r$, donc $u_0 = u_3 - 3r = 12 - 3 \times -\frac{12}{5} = \frac{60}{5} + \frac{36}{5} = \frac{96}{5}$
Donc : $u_0 = \frac{96}{5}$

$u_{18} = u_0 + 18r = \frac{96}{5} + 18 \times \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{96}{5} - \frac{216}{5} = -\frac{120}{5} = -24$
Donc : $u_{18} = -24$

Exercice 3

$u_7 = u_0 + 7r$, donc $r = \frac{u_7 - u_0}{7}$
De plus, $u_{13} = u_0 + 13r$, donc $u_{13} = u_0 + 13 \times \frac{u_7 - u_0}{7}$, donc :
$7u_{13} = 7u_0 + 13(u_7 - u_0)$
$7u_{13} = 7u_0 + 13u_7 - 13u_0$
$7u_{13} = -6u_0 + 13u_7$
$u_0 = \frac{7u_{13} - 13u_7}{-6} = \frac{7 \times \frac{13}{2} - 13 \times \frac{7}{2}}{-6}$
Donc : $u_0 = 0$

Exercice 4

$S_n = u_3 + \dots + u_n = (n-2) \left[u_3 + \dfrac{(n-3)r}{2} \right]$,

$u_3 = 2 + 3 \times 5 = 17$
On cherche donc $n$ tel que : $(n-2) \left(17 + \dfrac{5(n-3)}{2} \right) = 6456$
soit encore : $(n - 2)(5n + 19) = 12,912$.
Il faut donc trouver les racines du polynôme $5n^2 + 9n - 12,950 = 0$ :
$n_1 = \frac{-9 - 509}{10} = 51,8$ (non entier) et $n_2 = \frac{-9+509}{10} = 50$
Donc, $n = 50$.

Exercice 5

La suite des impairs peut être notée : $u_n = 2n + 1$, pour tout entier $n$.
On cherche l'entier $p$ tel que : $u_p + u_{p+1} + \dots + u_{p+6} = 343$.
Or, $u_p + u_{p+1} + \dots + u_{p+6} = (2p + 1) + (2p + 3) + \dots + (2p + 13) = 7 \times 2p + (1 + 3 + 5 + \dots + 13)$.
Or, $1 + 3 + 5 + \dots + 13 = 7\left(1 + \frac{6 \times 2}{2}\right) = 49$, somme des 7 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Ainsi : $14p + 49 = 343$, soit $p = 21$; puis $u_p = 43$.
Les sept nombres recherchés sont : 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55.

Exercice 6

Soit $(u_n)$ une telle suite de premier terme $u_0$ et de raison $r$.
Il existe $k$ tel que :

$u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 12$ et $u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 116$

Or : $]u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 4u_k + 6r$et $u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = u_k^2 + (u_k+r)^2 + (u_k+2r)^2 + (u_k+3r)^2$

$u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 4u_k^2 + 12u_kr + 14r^2 \\u_k^2 + u_{k+1}^2 + u {k+2}^2 + u{k+3}^2 = (2u_k+3r)^2 + 5r^2$

Or $4u_k+ 6r = 12$ donc $2u_k + 3r = 6$

Ainsi : $6² + 5r² = 116$

Soit : $r = \pm 4$

Puis $2u_k+ 3r = 6$ donc $u_k = -3$ ou $u_k = 9$

Ainsi : $-3 , 1 , 5 , 9$conviennent ainsi que : $9 , 5 , 1 , -3$.