Formule explicite et modélisation (suite arithmétique)

I. Forme explicite

Si $u_0$ est le premier terme et $r$ la raison, alors :

$u_n = u_0 + nr$

Si la suite commence à $u_1$, on a :

$u_n = u_1 + (n - 1)r$

Exemple 1

$u_0 = 7$, $r = 3$ → $u_n = 7 + 3n$

Exemple 2

$u_1 = 2$, $r = 4$ → $u_n = 2 + (n - 1) \times 4 = 2 + 4n - 4 = 4n - 2$

II. Modélisation par une suite arithmétique

Une évolution linéaire se modélise par une suite arithmétique :

$u_n = u_0 + nr$

Exemple 3 – Abonnement

Abonnement : 20 € le 1er mois, +2 € chaque mois.

$u_1 = 20$, $r = 2$

$u_n = 20 + (n - 1) \times 2 = 2n + 18$

Prix au mois 6 : $u_6 = 2 \times 6 + 18 = 30$

Exemple 4 – Population

Population en 2020 : 12 000 habitants. Augmentation : 450/an.

$u_0 = 12000$, $r = 450$

$u_n = 12000 + 450n$

Population en 2025 ($n = 5$) : $u_5 = 12000 + 450 \times 5 = 14250$