Somme des termes d'une suite arithmétique et notation Σ

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I. Formule de la somme

Somme des $n$ premiers termes $u_0$ à $u_{n-1}$ :

$S_n = \dfrac n2 \times (u_0 + u_{n-1})$

Autre formule avec la raison :

$S_n = \dfrac n2 \times [2u_0 + (n - 1)r]$

II. Notation $\Sigma$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1}$

Pour une suite arithmétique $u_k = u_0 + kr$ :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (u_0 + kr) = S_n$

III. Exemples corrigés

Exemple 1 – Somme de 10 premiers termes

$u_0 = 3$, $r = 3$, donc $u_9 = 3 + 9 \times 3 = 30$

$S_{10} = \dfrac{10}{2} \times (3 + 30) = \dfrac{330}{2} = 165$

Exemple 2 – Tirelire

Jour 1 : 5 €, puis +2 € chaque jour.

$u_1 = 5$, $r = 2$, $n = 20$

$u_{20} = 5 + (20 - 1) \times 2 = 43$

$S_{20} = \dfrac{20}{2} \times (5 + 43) = \dfrac{960}{2} = 480$

IV. Reconnaître une situation de somme arithmétique

• Quantité ajoutée régulièrement

• Répétition avec écart constant

• Accumulation progressive