Des fonctions linéaires

Exercice 1

$f$ est une fonction linéaire de coefficient $4$ ;
$g$ est une fonction linéaire de coefficient $\dfrac{2}{7}$ ;
$j$ est une fonction linéaire de coefficient $-\dfrac{3}{4}$ ;
$l(x) = (x - 1)^2 - (x^2 + 1) = x^2 - 2x + 1 - x^2 - 1 = -2x$, $l$ est donc une fonction linéaire de coefficient $-2$ ;
$m(x) = x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x + 5 = 3x + 14$, donc $m$ n'est pas une fonction linéaire ;
$n(x) = 3(x -7) - 8x - 5 - 5(x + 4) = 3x - 21 - 8x - 5 - 5x - 20 = -10x - 46$, donc $n$ n'est pas une fonction linéaire.

Les fonctions $h$, $i$, $k$ ne sont pas des fonctions linéaires.

👉 Conseil : Une fonction linéaire est toujours de la forme $f(x) = a x$. Si un terme constant (comme +7 ou +14) apparaît, la fonction n’est plus linéaire mais affine.

Exercice 2

1. $f(3) = -2 \times 3 = -6$  $f(-2) = -2 \times (-2) = 4$  $f(7) = -2 \times 7 = -14$

2. $f(-1) = -2 \times (-1) = 2$  $f(6) = -2 \times 6 = -12$  $f\left(\dfrac{3}{2}\right) = -2 \times \dfrac{3}{2} = -3$

3. Il faut donc trouver $x$ tel que $f(x) = 7$, donc : $-2x = 7$, soit $x = -\dfrac{7}{2}$.
   $-\dfrac{7}{2}$ a pour image $7$ par $f$.

👉 Conseil : Pour trouver l'antécédent d’un nombre, il suffit de résoudre l’équation $f(x) = \text{valeur donnée}$.

Exercice 3

$f$ est la fonction linéaire de coefficient $-\dfrac{3}{2}$, elle s’écrit donc : $f(x) = -\dfrac{3}{2}x$.

1. $f(-2) = -\dfrac{3}{2} \times (-2) = 3$  $f(3) = -\dfrac{3}{2} \times 3 = -\dfrac{9}{2}$  $f(10) = -\dfrac{3}{2} \times 10 = -15$

2. $f\left(\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3} = -1$  $f(1) = -\dfrac{3}{2} \times 1 = -\dfrac{3}{2}$  $f(7) = -\dfrac{3}{2} \times 7 = -\dfrac{21}{2}$

3. Il faut donc trouver $x$ tel que $f(x) = -2$, donc : $-\dfrac{3}{2}x = -2$, soit $x = \dfrac{4}{3}$.
   $\dfrac{4}{3}$ a pour image $-2$ par $f$.

👉 Conseil : Ne pas confondre image et antécédent : l’image correspond à $f(x)$, l’antécédent est la valeur de $x$ qui produit cette image.

Exercice 4

1. On sait que $f$ est une fonction linéaire, elle est donc de la forme $f(x) = a x$.
   Or, $f(3) = 5$, donc : $3a = 5$.
   Son coefficient $a$ vaut $\dfrac{5}{3}$.

2. $f(-1) = \dfrac{5}{3} \times (-1) = -\dfrac{5}{3}$  $f(6) = \dfrac{5}{3} \times 6 = 10$  $f\left(\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{3}{5} = 1$

3. Représenter graphiquement dans un repère orthonormal $(O, I, J)$ la fonction linéaire $f$.

👉 Conseil : Pour tracer une fonction linéaire, il suffit de placer deux points (souvent $O(0;0)$ et un autre, comme $(3;5)$ ici), puis tracer la droite passant par ces points.