Activités rapides (2) sur le logarithme népérien

Exercice 1

1. Limite au voisinage de $0^+$

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}2x-\ln x=+\infty$
car $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}2x=0$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\ln x=-\infty$

Limite au voisinage de $+\infty$

$\lim\limits_{x\to +\infty} 2x-\ln x$ est une forme indéterminée du type $+\infty -\infty$.

Or
$\lim\limits_{x\to +\infty}2x-\ln x=\lim\limits_{x\to +\infty}x\left(2-\dfrac{\ln (x)}{x}\right)=+\infty$
car $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln (x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(2-\dfrac{\ln (x)}{x}\right)=2$

2. Limite au voisinage de $1^+$

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\x>1}}g(x)=\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\x>1}}\dfrac{x}{5\ln (x)}=+\infty$
car $\lim_{\substack{x\to 1\x>1}}x=1$ et $\lim_{\substack{x\to 1\x>1}}\ln (x)=0^+$

Limite au voisinage de $+\infty$

$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{5\ln (x)}$ est une forme indéterminée du type $\dfrac{+\infty}{+\infty}$.

Or
$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{\frac{\ln (x)}{x}}=+\infty$
car $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln (x)}{x}=0^+$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\frac{\ln (x)}{x}}=+\infty$

3. Limite au voisinage de $e^2$

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}} h(x)=\displaystyle\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}\dfrac{x}{-2+\ln x}=+\infty$
car $\displaystyle\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}x=e^2>0$

et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}-2+\ln x=0^+$ donc $\displaystyle\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}\dfrac{1}{-2+\ln x}=+\infty$

Limite au voisinage de $+\infty$

$\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{-2+\ln x}$ est une forme indéterminée du type $\dfrac{+\infty}{+\infty}$.

On pose $X=\ln x$. Alors
$\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{e^X}{-2+X}$

Puis en posant $Y=1-\dfrac{X}{2}$ :
$\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{e^X}{-2+X}=\lim\limits_{Y\to -\infty}\dfrac{e^{2-2Y}}{-2Y}$

Enfin, posons $Z=-2Y$:
$\lim\limits_{Y\to -\infty}\dfrac{e^{2-2Y}}{-2Y}=\lim\limits_{Z\to +\infty}\dfrac{e^2e^Z}{Z}=+\infty$
car $\lim\limits_{Z\to +\infty}\dfrac{e^Z}{Z}=+\infty$

Exercice 2

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée :

1. $f(x)=\ln (x^2-x+2)$

La fonction $u$ définie par $u(x)=x^2-x+2$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$ comme polynôme du 2nd degré.
La fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$.

Étude du signe de $x^2-x+2$
$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 2=1-8=-7<0$ donc le trinôme est toujours du signe de $a=1$ (positif).

Ainsi, la fonction $f=\ln \circ u$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$.

$\forall x\in \mathbb R,; f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x+2}$

2. $g(x)=7\ln (x^2)+x^2$

La fonction $v(x)=x^2$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$.
La fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$.

Or $\forall x\neq 0,; x^2>0$. Donc la fonction $g$ est définie et dérivable sur $\mathbb R^*$.

$\forall x\neq 0,; g'(x)=7\times \dfrac{2x}{x^2}+2x=\dfrac{14}{x}+2x$

3. $h(x)=\ln \left(\dfrac{3-x}{3+x}\right)$

Exercice 3

La fonction $u(x)=x^2+x+1$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$.
La fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$.

Étude du signe de $x^2+x+1$
$\Delta=1^2-4\times 1\times 1=1-4=-3<0$ donc le trinôme est du signe de $a=1$ (positif).

Ainsi, la fonction $f=\ln \circ u$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$.

Limite au voisinage de $-\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty}\ln (x^2+x+1)=+\infty$
car $\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2+x+1)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty}\ln (X)=+\infty$

Limite au voisinage de $+\infty$
De même, $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln (x^2+x+1)=+\infty$
car $\lim\limits_{x\to +\infty}(x^2+x+1)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty}\ln (X)=+\infty$

Dérivée de $f$
$\forall x\in \mathbb R,\; f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$

Tableau de variations de $f$
Comme $\forall x\in \mathbb R,\; x^2+x+1>0$, on déduit que $f'(x)$ est du signe de $2x+1$.

On a $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1\right)=\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)=\ln 3-\ln 4$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty && -\frac{1}{2} && +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & ^{\scriptsize{+\infty}} & \searrow & _{\scriptsize{\ln 3-\ln 4}} & \nearrow & ^{\scriptsize{+\infty}} \\ \hline\end{array}$