Activités rapides (1) sur le logarithme népérien

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x-2)\ln(x^2+1)$

En justifiant, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1. $f(1)=(1-2)\ln(1^2+1)=-\ln(2)\neq \dfrac{1}{5}$ donc la proposition est FAUSSE

2. $\forall x\in \mathbb R,\; x^2+1>0$ et la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc la fonction $x\mapsto \ln(x^2+1)$ est dérivable sur $\mathbb R$ et la fonction $f$ est par conséquent dérivable sur $\mathbb R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.

On a $f'(x)=\ln(x^2+1)+(x-2)\times \dfrac{2x}{x^2+1}$ donc $f'(0)=0$.
Donc $C_f$ admet bien une tangente horizontale en 0. La proposition est VRAIE

3. $f'(1)=\ln(1^2+1)+(1-2)\times \dfrac{2\times 1}{1^2+1}=\ln(2)-1\neq \ln 2$ donc la proposition est FAUSSE

4. $f(0)=(0-2)\ln(0^2+1)=-2\ln(1)=0\neq -2$ donc la proposition est FAUSSE

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=x+\ln\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)$.

On a :

1. $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}x+\ln\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)=+\infty$

car $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}} x=2$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}\dfrac{x+3}{x-2}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$

Donc la droite d’équation $x=2$ est asymptote verticale à $C_f$.

2. $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}x+\ln\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)=+\infty$

car $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+3}{x-2}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}}=1$ et $\displaystyle\lim_{X\to 1}\ln(X)=0$.

Exercice 3

Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 12 % annuel vaut $\left(1-\dfrac{12}{100}\right)=0,88$.

Au bout de $n$ années, sa voiture vaut $12000\times (0,88)^n$.

On cherche la valeur minimale de $n$ telle que $12000\times (0,88)^n\leq 3000$.

$12000\times (0,88)^n\leq 3000$

$\Longleftrightarrow(0,88)^n\leq \dfrac{1}{4}$

$\Longleftrightarrow n\ln(0,88)\leq \ln(0,25)$

$\Longleftrightarrow n\geq \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,88)}\approx 10,84$

Donc au bout de 11 années, sa voiture vaudra moins que le quart de son prix de départ.