Compléments : croissances comparées et dérivée composée

Exercice 1

1. On sait que $\dfrac{\ln(x)}{x}\to 0$ quand $x\to+\infty$.
   Résultat : $0$.

2. On sait que $\dfrac{x}{\ln(x)}\to+\infty$ quand $x\to+\infty$.
   Résultat : $+\infty$.

3. Plus généralement, $\dfrac{\ln(x)}{x^n}\to 0$ pour tout $n>0$.
   Ici $n=3$, donc :
   $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^3}=0$.

4. On sait que $x^n\ln(x)\to+\infty$ pour tout $n>0$.
   Ici $n=2$, donc :
   $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^2\ln(x)=+\infty$.

Exercice 2

1. $f(x)=\dfrac{5e^x}{x^2\ln(x)}$.
   On écrit $f(x)=5\dfrac{e^x}{x^3}\times \dfrac{x}{\ln(x)}$.

• $\dfrac{e^x}{x^3}\to+\infty$.

• $\dfrac{x}{\ln(x)}\to+\infty$.
  Donc par produit : $f(x)\to+\infty$.

2. $g(x)=\dfrac{e^x}{x^{10}}$.
   On sait que $e^x$ croît plus vite que toute puissance de $x$, donc :
   $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.

3. $h(x)=\dfrac{\ln(x)}{e^x}$.
   On écrit $h(x)=\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{\ln(x)}}$.
   Or $e^x$ croît beaucoup plus vite que $\ln(x)$, donc $\dfrac{e^x}{\ln(x)}\to+\infty$.
   Ainsi, $h(x)\to 0$.

Exercice 3

1. $f(x)=\ln(x^2+1)$.
   On pose $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$.
   Alors $f'(x)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{2x}{x^2+1}$.

2. $g(x)=\ln(\sqrt{x})$.
   On écrit $g(x)=\ln(x^{1/2})=\dfrac{1}{2}\ln(x)$.
   Donc $g'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2x}$.

3. $h(x)=\ln\left(\dfrac{x^2+3}{x}\right)$.
   On pose $u(x)=\dfrac{x^2+3}{x}$.
   Alors $u(x)=x+\dfrac{3}{x}$ et $u'(x)=1-\dfrac{3}{x^2}$.
   Donc $h'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{1-\dfrac{3}{x^2}}{x+\dfrac{3}{x}}$.