Réciproque du théorème de Thalès

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I. Réciproque du Théorème de Thalès

Réciproque du théorème de Thalès :
Soient $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$,
Soient $B$ et $M$ deux points de $(d)$, distincts de $A$,
Soient $C$ et $N$ deux points de $(d')$, distincts de $A$.
Si $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$ et si les points $A$, $B$, $M$ et les points $A$, $C$, $N$ sont dans le même ordre,
alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

II. Exemple

Sur ce dessin (qui n'est pas à l'échelle), on souhaite savoir si les droites $(d_3)$ et $(d_4)$ sont parallèles.

Solution :

Données : $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes en $M$. les points $R$, $M$ et $N$ d'une part sur $(d_1)$ et $Q$, $M$ et $P$ d'autre part sur $(d_2)$ sont alignés dans le même ordre.

Calculons : $\dfrac{MR}{MN}=\dfrac{1,2}{3,6}=\dfrac 13$ d'une part,

$\dfrac{MQ}{MP}=\dfrac{4,8}{14,4}=\dfrac 13$ d'autre part.

Donc : $\dfrac{MR}{MN}=\dfrac{MQ}{MP}$ et on peut affirmer que $(d_3)$ et $(d_4)$ sont parallèles.

III. Différence entre théorème et réciproque du théorème