Le théorème de Thalès (configuration papillon)

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I. Le théorème de Thalès (configuration papillon)

Théorème de Thalès :

Soient $(d)$ et $(d')$ sont deux droites sécantes en $A$,
Soient $B$ et $M$ deux points de la droite $(d)$, distincts de $A$,
Soient $C$ et $N$ deux points de la droite $(d')$, distincts de $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$.

II. Calculer une longueur manquante

Énoncé

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en $M$. La droite $(d_3)$ coupe $(d_1)$ en $R$ et la droite $(d_4)$ coupe $(d_1)$ en $N$ et $(d_2)$ en $P$. On sait que les droites $(d_3)$ et $(d_4)$ sont parallèles. On sait que $MR=2$, $MN=5$ et $MQ=3$. Calculer la longueur $MP$. Le dessin n'est pas à l'échelle.

Solution

On sait que les droites $(RQ)$ et $(PN)$ sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès (dans une configuration papillon).

$\dfrac{ MR}{MN}=\dfrac{MQ}{MP}=\dfrac{RQ}{PN}$

Remplaçons par les valeurs connues.

$\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{MP}=\dfrac{4}{PN}$

Nous cherchons $MP$. La première égalité suffit.

$\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{MP}$ donc : $2\times MP=5\times 3$

En divisant les deux membres par $2$, on obtient : $MP=\dfrac{15}{2}=7,5$ unités de longueur.

III. Démonstration (pour aller plus loin)

On considère la figure suivante :

Les droites $(d)$ et $(d')$ sont sécantes en $A$ ;
$B$ et $M$ sont deux points de la droite $(d)$, distincts de $A$ ;
$C$ et $N$ sont deux points de la droite $(d')$, distincts de $A$ ; les droites $(BC)$ et $(MN)$sont parallèles.

a) Par la symétrie de centre $A$, construire les points $M'$ et $N'$, symétriques respectifs des points $M$ et $N$.

b) Que peut-on dire des droites $(M'N')$ et $(BC)$ ? Expliquer.

c) Expliquer pourquoi $AM' = AM, AN' = AN et MN = M'N'$.

d) Expliquer pourquoi
$\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$.

$a)$

$b)$ On sait que les points $M'$ et $N'$ sont les symétriques respectifs des points $M$ et $N$ par rapport au point $A$. Donc $(M'N')$ est la symétrique de $(MN)$ par rapport à $A$.
Or, la symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
On en déduit que les droites $(MN)$ et $(M'N')$ sont parallèles.
De plus, on sait que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
On en conclut que les droites $(M'N')$ et $(BC)$ sont parallèles.

$c)$ On sait que $M'$est le symétrique de $M$ par rapport à $A$, donc $AM' = AM$.
On sait que $N'$ est le symétrique de $N$ par rapport à $A$, donc $AN' = AN$.
Les segments $[MN]$ et $[M'N']$ sont symétriques par rapport à $A$. Or, la symétrie centrale conserve les longueurs, donc $MN = M'N'$.

$d)$ Dans le triangle $ABC$, $M'$ est un point du côté $[AB]$, $N'$ est un point du côté $[AC]$ et les droites $(M'N')$ et $(BC)$ sont parallèles, alors : $\dfrac{\text{AM'}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN'}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{M'N'}}{\text{BC}}$.

Or, on a montré que $AM' = AM$, $AN' = AN$ et que $M'N' = MN$, donc :
$\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$.