Contraposée du théorème de Thalès : pour aller plus loin

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La propriété suivante va nous permettre de montrer que des droites ne sont pas parallèles à l'aide de rapports qui ne sont pas égaux.

I. Contraposée du théorème de Thalès

$\checkmark$ Si deux triangles sont formés par deux droites sécantes d'une part, et deux autres droites,

$\checkmark$ et si les côtés associés ne sont pas proportionnels, alors les deux autres droites ne sont pas parallèles.

Ceci est une conséquence du théorème de Thalès, comme l'égalité n'est pas vérifiée, c'est que les droites ne sont pas parallèles.

II. Exemple de rédaction de la contraposée

Sur la figure ci-dessous, les points A, B et C sont alignés, ainsi que les points A, D et E.
On donne : $AB=3$, $BC=2$, $AD=5$ et $DE=3$

Les droites $(BD)$ et $(CE)$sont-elles parallèles ?

Solution :

Les points A, B, C d'une part et A, D, E d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{3}{5} = 0,6$ et $\dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{5}{8} = 0,625$.

Donc : $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} \neq \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}}$

Si les droites (BD) et (CE) étaient parallèles, on aurait d'après le théorème de Thalès $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}}$, ce qui n'est pas le cas.

Donc les droites (BD) et (CE) ne sont pas parallèles. Nous venons d'appliquer la contraposée du théorème de Thalès.

III. Théorème, réciproque du théorème et contraposée du théorème