Qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?

Publié le 07 juin 2023
 • Mis à jour le 17 juillet 2023
 • digiSchool

Un triangle rectangle est un triangle dont deux côtés des trois côtés sont perpendiculaires, formant un angle droit de 90°. Connaître les propriétés d’un triangle rectangle et savoir les appliquer font partie des principes essentiels à maîtriser en mathématiques au collège.

triangle rectangle

SOMMAIRE

Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en A :

triangle rectangle

Les côtés [AC] et [AB] forment l’angle droit du triangle tandis que le côté [BC] forme l’hypoténuse, le plus grand côté se situant face à l’angle droit.

Rappel : l’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :

BA < BC
AC < BC

Les deux autres côtés (AB et AC), adjacents à l’angle droit, sont les cathètes. Selon l’angle considéré (B ou C), les cathètes deviendront sinus pour l’une et cosinus pour l’autre; c’est la base de la trigonométrie.

Découvre également notre cours sur les relations trigonométriques.

Les angles

Ses trois angles sont A, B et C. Les angles B et C sont complémentaires. Si B = C = 45°, le triangle est rectangle-isocèle.

Périmètre et aire

Périmètre

P = AB + BC + AC

Aire

A = b x h / 2b et h sont la base et la hauteur. Autrement dit, les deux autres côtés du triangle qu’on nomme cathètes.

aire triangle rectangle

Utilise notre outil pour calculer l’aire d’un triangle facilement et rapidement.

Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?

Théorème de Pythagore 

D’après le théorème de Pythagore, si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors c’est un triangle rectangle. 

Si BC2 = AC2 + AB2 alors le triangle ABC est rectangle en A.

Découvre comment appliquer le théorème de Pythagore.

théorème pythagore triangle rectangle

Exemple : On a un triangle ABC tel que AB = 8 cm, BC = 10 cm et AC = 6 cm. ABC est-il rectangle ?

Le côté le plus long ici est bien [BC] avec 10cm.

D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle si : BC² = AB² + AC².

Autrement dit :
BC² = 10² = 100
AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². 

Alors, le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est [BC]. 

Réciproque du cercle circonscrit d’un triangle rectangle

Le théorème du cercle circonscrit démontre que, si le triangle ABC est rectangle en A, alors son cercle circonscrit est le cercle de diamètre [BC], qui est l’hypoténuse.

Démonstration :

Soit O le milieu de [BC] et A’ le symétrique de A par rapport à O. 

  • Les diagonales du quadrilatère ABA’C se coupent en leur milieu O, ce quadrilatère est donc un parallélogramme.
  • Or le parallélogramme ABA’C a par hypothèse un angle droit en A, c’est donc un rectangle.
  • On sait que les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu, donc OA = OB = OC = OA’.
  • Par conséquent O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. [BC] est donc le diamètre du cercle circonscrit.

Ainsi, dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. 

Réciproque du théorème

Mais ce qui nous intéresse ici, c’est la réciproque du théorème : si le triangle ABC est inscrit dans un cercle et si le côté [BC] est un diamètre de ce cercle alors le triangle ABC est rectangle en A.

Démonstration : 

Soit O, le milieu du segment [BC]. Par hypothèse, le point O est aussi le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.  On note β l’angle B, 𝜸 l’angle C. Il s’agit de montrer que 𝜶, l’angle A = 90°.

Cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC  (rayon du cercle circonscrit), donc CÂO = 𝜸 = angle C

De plus, le triangle AOB est isocèle en O donc BÂO = β = angle B

Ainsi : 𝜶 = BÂO + CÂO = β + 𝜸

Comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180° : 
𝜶 + β + 𝜸 = 180
⟺ 𝜶 + 𝜶 = 180
⟺ 2𝜶 = 180
⟺ 𝜶 = 90

De ce fait, le triangle ABC est rectangle en A. 

Si cet article vous a aidé, dites-le-nous 🙂

digiSchool
Publié le 07 juin 2023 ・ Mis à jour le 17 juillet 2023

Sur le même sujet

figures de style

20/06/2023 à 09:29

Les figures de style : des outils indispensables de la littérature

Les figures de style sont au programme de français ! On les apprend notamment au collège en 3ème mais également durant la classe de seconde au lycée. Découvre dans cet article la définition d’une figure de style ainsi que la liste complète de toutes les figures classées par intention.
calculer périmètre rectangle

20/06/2023 à 07:53

Comment calculer le périmètre d’un rectangle ?

Savoir comment calculer le périmètre d’un rectangle ou d’autres formes géométriques comme le carré, le cercle ou encore le triangle, vous sera très utile pour résoudre les problèmes de mathématiques au collège. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur les formules pour calculer les périmètres des rectangles, quadrilatères et des carrés !

théorème de thalès

07/06/2023 à 13:33

Le théorème de Thalès : propriétés et réciproque avec exemples

Le théorème de Thalès est l’un des deux grands théorèmes du collège avec le théorème de Pythagore que tu as dû déjà voir. Le théorème, ainsi que la réciproque vont te permettre de calculer des longueurs et de montrer que des droites sont parallèles (ou non). Focus sur tous les éléments à retenir du théorème de Thalès.

Commentaires / Qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?

 Commentaires 0