Réciproque du théorème de Pythagore
Si un triangle est tel que , alors ce triangle est rectangle en .
Autre formulation de la réciproque de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés.
exempleSoit un triangle tel que et . Montrons que le triangle n’est pas rectangle.
1. est le plus grand des côtés du triangle .
2. Calculons : .
3. Puisque , alors .
Par conséquent : .
Conclusion : Si le triangle avait été rectangle en , alors nous aurions pu appliquer le théorème de Pythagore et écrire que . Mais , donc le triangle n’est pas rectangle en .
Méthodes pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le plan
Soit un triangle tel que , et (les longueurs sont exprimées en millimètres).
a. Quelle est la nature du triangle ?
b. Soit le point du segment tel que . On sait de plus que . Quelle est la nature du triangle ? Que représente la droite pour le triangle ?
Repère
conseilsCalculez les carrés des mesures de chacun des côtés du triangle considéré. Additionnez les deux plus petits carrés et comparez cette somme au troisième carré.
Repère
Solutiona. On a : .
Nous remarquons que , c’est-à-dire . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en .
b. On a :
.
Nous remarquons que , c’est-à-dire . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en . La droite représente donc la hauteur issue de dans le triangle .
Déterminer si une étagère est horizontale ou non
Les différentes longueurs sont données en cm.
L’étagère [AB] est fixée à un mur vertical et maintenue par un support [CD]. On donne : AC = 40, AD = 60 et DC = 70.
a. L’étagère est-elle horizontale ? Pourquoi ?
b. Le point C est fixe tandis que le point D peut coulisser sur [AE]. À quelle distance de A (arrondie à 0,1 près) doit-on placer le point D pour que l’étagère soit horizontale ?
Repère
Conseilsa. L’étagère est horizontale si (AC) est perpendiculaire à (AD), donc si le triangle DAC est rectangle en A.
Repère
Solutiona. et .
Donc . Donc le triangle DAC n’est pas rectangle en A, et l’étagère n’est pas horizontale.
b. Notons D′ la nouvelle position du point D qui permet d’avoir un triangle D′AC rectangle en A. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle D′AC rectangle en A : , soit .
(valeur arrondie à 0,1 près).
Il faut placer le point D′ (ou D) à 57,4 cm du point A pour que l’étagère soit horizontale.