I. Réciproque du théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est tel que BC2=AB2+AC2, alors ce triangle est rectangle en A.
Autre formulation de la réciproque de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés.
exempleSoit un triangle ABC tel que AB=5,7 AC=8,4 et BC=10. Montrons que le triangle ABC n’est pas rectangle.
1. [BC] est le plus grand des côtés du triangle ABC.
2. Calculons : AB2=5,72=32,49 AC2=8,42=70,56 BC2=102=100.
3. Puisque 32,49+70,56=103,05, alors 32,49+70,56≠100.
Par conséquent : AB2+AC2≠BC2.
Conclusion : Si le triangle ABC avait été rectangle en A, alors nous aurions pu appliquer le théorème de Pythagore et écrire que AB2+AC2=BC2. Mais AB2+AC2≠BC2, donc le triangle ABC n’est pas rectangle en A.
II. Méthodes pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le plan
Soit un triangle ABC tel que AB=36, AC=48 et BC=60 (les longueurs sont exprimées en millimètres).
a. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b. Soit H le point du segment [BC] tel que CH=38,4. On sait de plus que AH=28,8. Quelle est la nature du triangle AHC ? Que représente la droite (AH) pour le triangle ABC ?
Conseils
Calcule les carrés des mesures de chacun des côtés du triangle considéré. Additionne les deux plus petits carrés et compare cette somme au troisième carré.
Solution
a. On a : AB2=362=1 296 AC2=482=2 304 BC2=602=3 600.
Nous remarquons que 1 296+2 304=3 600, c’est-à-dire AB2+AC2=BC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
b. On a : AH2=28,82=829,44 CH2=38,42=1 474,56
AC2=482=2 304.
Nous remarquons que 829,44+1 474,56=2 304, c’est-à-dire AH2+CH2=AC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AHC est rectangle en H. La droite (AH) représente donc la hauteur issue de A dans le triangle BAC.
Déterminer si une étagère est horizontale ou non
Les différentes longueurs sont données en cm.
L’étagère [AB] est fixée à un mur vertical et maintenue par un support [CD]. On donne : AC = 40, AD = 60 et DC = 70.
a. L’étagère est-elle horizontale ? Pourquoi ?
b. Le point C est fixe tandis que le point D peut coulisser sur [AE]. À quelle distance de A (arrondie à 0,1 près) doit-on placer le point D pour que l’étagère soit horizontale ?
Conseils
a. L’étagère est horizontale si (AC) est perpendiculaire à (AD), donc si le triangle DAC est rectangle en A.
Solution
a.AD2+AC2=602+402=5 200 et CD2=702=4 900.
Donc AD2+AC2≠CD2. Donc le triangle DAC n’est pas rectangle en A, et l’étagère n’est pas horizontale.
b. Notons D′ la nouvelle position du point D qui permet d’avoir un triangle D′AC rectangle en A. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle D′AC rectangle en A : AD′ 2+AC2=CD′ 2, soit AD′ 2=CD′ 2−AC2=702−402=3 300.
AD′ =3 300≃57,4 (valeur arrondie à 0,1 près).
Il faut placer le point D′ (ou D) à 57,4 cm du point A pour que l’étagère soit horizontale.