Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

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Réciproque du théorème de Pythagore

 Si un triangle ABC est tel que BC2=AB2+AC2, alors ce triangle est rectangle en A.

 Autre formulation de la réciproque de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés.

exempleSoit un triangle ABC tel que AB=5,7  AC=8,4 et BC=10. Montrons que le triangle ABC n’est pas rectangle.

1. [BC] est le plus grand des côtés du triangle ABC.

2. Calculons : AB2=5,72=32,49  AC2=8,42=70,56  BC2=102=100.

3. Puisque 32,49+70,56=103,05, alors 32,49+70,56100.

Par conséquent : AB2+AC2BC2.

Conclusion : Si le triangle ABC avait été rectangle en A, alors nous aurions pu appliquer le théorème de Pythagore et écrire que AB2+AC2=BC2. Mais AB2+AC2BC2, donc le triangle ABC n’est pas rectangle en A.

Méthodes pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le plan

Soit un triangle ABC tel que AB=36, AC=48 et BC=60 (les longueurs sont exprimées en millimètres).

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Soit H le point du segment [BC] tel que CH=38,4. On sait de plus que AH=28,8. Quelle est la nature du triangle AHC ? Que représente la droite (AH) pour le triangle ABC ?

Repère
conseils

Calculez les carrés des mesures de chacun des côtés du triangle considéré. Additionnez les deux plus petits carrés et comparez cette somme au troisième carré.

Repère
Solution

a. On a : AB2=362=1296  AC2=482=2304  BC2=602=3600.

Nous remarquons que 1296+2304=3600, c’est-à-dire AB2+AC2=BC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

b. On a : AH2=28,82=829,44  CH2=38,42=1474,56 

AC2=482=2304.

Nous remarquons que 829,44+1474,56=2304, c’est-à-dire AH2+CH2=AC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AHC est rectangle en H. La droite (AH) représente donc la hauteur issue de A dans le triangle BAC.

Déterminer si une étagère est horizontale ou non

02905_Figure_44_01

Les différentes longueurs sont données en cm.

L’étagère [AB] est fixée à un mur vertical et maintenue par un support [CD]. On donne : AC = 40, AD = 60 et DC = 70.

a. L’étagère est-elle horizontale ? Pourquoi ?

b. Le point C est fixe tandis que le point D peut coulisser sur [AE]. À quelle distance de A (arrondie à 0,1 près) doit-on placer le point D pour que l’étagère soit horizontale ?

Repère
Conseils

a. L’étagère est horizontale si (AC) est perpendiculaire à (AD), donc si le triangle DAC est rectangle en A.

 

Repère
Solution

a.AD2+AC2=602+402=5200 et CD2=702=4900.

Donc AD2+AC2CD2. Donc le triangle DAC n’est pas rectangle en A, et l’étagère n’est pas horizontale.

b. Notons D′ la nouvelle position du point D qui permet d’avoir un triangle D′AC rectangle en A. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle D′AC rectangle en A : AD′ 2+AC2=CD′ 2, soit AD′ 2=CD′ 2AC2=702402=3300.

AD′ =330057,4 (valeur arrondie à 0,1 près).

Il faut placer le point D′ (ou D) à 57,4 cm du point A pour que l’étagère soit horizontale.