Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

 Si un triangle $\text{ABC}$ est tel que ${\text{BC}}^2={\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2$, alors ce triangle est rectangle en $\text{A}$.

 Autre formulation de la réciproque de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés.

exempleSoit un triangle $\text{ABC}$ tel que $\text{AB}=\text{5},\text{7}$  $\text{AC}=\text{8},\text{4}$ et $\text{BC}=\text{1}0$. Montrons que le triangle $\text{ABC}$ n’est pas rectangle.

1. $\left[\text{BC}\right]$ est le plus grand des côtés du triangle $\text{ABC}$.

2. Calculons : ${\text{AB}}^2={\mathrm{5,7}}^2=\mathrm{32,49}$  ${\text{AC}}^2={\mathrm{8,4}}^2=\mathrm{70,56}$  ${\text{BC}}^2={10}^2=100$.

3. Puisque $\mathrm{32,49}+\mathrm{70,56}=\mathrm{103,05}$, alors $\mathrm{32,49}+\mathrm{70,56}\ne 100$.

Par conséquent : ${\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2\ne {\text{BC}}^2$.

Conclusion : Si le triangle $\text{ABC}$ avait été rectangle en $\text{A}$, alors nous aurions pu appliquer le théorème de Pythagore et écrire que ${\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2={\text{BC}}^2$. Mais ${\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2\ne {\text{BC}}^2$, donc le triangle $\text{ABC}$ n’est pas rectangle en $\text{A}$.

Méthodes pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le plan

Soit un triangle $\text{ABC}$ tel que $\text{AB}=36$, $\text{AC}=48$ et $\text{BC}=60$ (les longueurs sont exprimées en millimètres).

a. Quelle est la nature du triangle $\text{ABC}$ ?

b. Soit $\text{H}$ le point du segment $\left[\text{BC}\right]$ tel que $\text{CH}=\mathrm{38,4}$. On sait de plus que $\text{AH}=\mathrm{28,8}$. Quelle est la nature du triangle $\text{AHC}$ ? Que représente la droite $\left(\text{AH}\right)$ pour le triangle $\text{ABC}$ ?

Repère
conseils

Calculez les carrés des mesures de chacun des côtés du triangle considéré. Additionnez les deux plus petits carrés et comparez cette somme au troisième carré.

Repère
Solution

a. On a : ${\text{AB}}^2={36}^2=1296$  ${\text{AC}}^2={48}^2=2304$  ${\text{BC}}^2={60}^2=3600$.

Nous remarquons que $1296+2304=3600$, c’est-à-dire ${\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2={\text{BC}}^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$.

b. On a : ${\text{AH}}^2={\mathrm{28,8}}^2=\mathrm{829,44}$  ${\text{CH}}^2={\mathrm{38,4}}^2=1\mathrm{474,56}$ 

${\text{AC}}^2={48}^2=2304$.

Nous remarquons que $\mathrm{829,44}+1\mathrm{474,56}=2304$, c’est-à-dire ${\text{AH}}^{\text{2}}+{\text{CH}}^{\text{2}}={\text{AC}}^{\text{2}}$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $\text{AHC}$ est rectangle en $\text{H}$. La droite $\left(\text{AH}\right)$ représente donc la hauteur issue de $\text{A}$ dans le triangle $\text{BAC}$.

Déterminer si une étagère est horizontale ou non

Les différentes longueurs sont données en cm.

L’étagère [AB] est fixée à un mur vertical et maintenue par un support [CD]. On donne : AC = 40, AD = 60 et DC = 70.

a. L’étagère est-elle horizontale ? Pourquoi ?

b. Le point C est fixe tandis que le point D peut coulisser sur [AE]. À quelle distance de A (arrondie à 0,1 près) doit-on placer le point D pour que l’étagère soit horizontale ?

Repère
Conseils

a. L’étagère est horizontale si (AC) est perpendiculaire à (AD), donc si le triangle DAC est rectangle en A.

 

Repère
Solution

a.${\text{AD}}^2+{\text{AC}}^2={60}^2+{40}^2=5200$ et ${\text{CD}}^2={70}^2=4900$.

Donc ${\text{AD}}^2+{\text{AC}}^2\ne {\text{CD}}^2$. Donc le triangle DAC n’est pas rectangle en A, et l’étagère n’est pas horizontale.

b. Notons D′ la nouvelle position du point D qui permet d’avoir un triangle D′AC rectangle en A. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle D′AC rectangle en A : ${\text{AD′}}^2+{\text{AC}}^2={\text{CD′}}^2$, soit ${\text{AD′}}^2={\text{CD′}}^2-{\text{AC}}^2={\text{70}}^2-{\text{40}}^2=\text{3}\text{300}$.

$\text{AD′}=\sqrt{3300}\simeq \mathrm{57,4}$ (valeur arrondie à 0,1 près).

Il faut placer le point D′ (ou D) à 57,4 cm du point A pour que l’étagère soit horizontale.