I. Rappels de cours
1) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
Soit un triangle ABC, rectangle en A.
2) Relations fondamentales
Pour tout angle aigu de mesure x, on a :
cos2x+sin2x=1 et tanx=sinxcosx.
II. Méthodes
1) Calculer les mesures des côtés et des angles d’un triangle rectangle
Soit un triangle ABC rectangle en A.
On pose : BC=a, AC=b et AB=c.
Les mesures des côtés du triangle sont exprimées en centimètres et seront calculées à 0,1 cm près. Les mesures des angles sont exprimées en degrés et seront calculées à un degré près.
Compléter le tableau suivant, en indiquant succinctement les calculs effectués.
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a |
b |
c |
B^ |
C^ |
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9 |
32 |
|||
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4,5 |
54 |
|||
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8 |
76 |
|||
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3 |
4 |
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9 |
60 |
Conseils
- Commence par tracer une figure.
- B^ + C^=90° puisque le triangle ABC est rectangle en A.
- Utilise ta calculatrice.
Solution
Utilisons les formules suivantes :
- cosB^=ca
- cosC^=ba
- sinB^=ba
- sinC^=ca
- tanB^=bc
- tanC^=cb
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a |
b |
c |
B^ |
C^ |
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9 |
7,6 |
4,8 |
58 |
32 |
|
5,6 |
4,5 |
3,3 |
54 |
36 |
|
33,1 |
32,1 |
8 |
76 |
14 |
|
5 |
3 |
4 |
37 |
53 |
|
18 |
15,6 |
9 |
60 |
30 |
2) Calculer le cosinus d’un angle aigu connaissant son sinus
L’un des angles aigus d’un triangle rectangle mesure x degrés. Sachant que sinx=0,6, calculer la valeur exacte de cosx.
Conseils
Utilise la formule cos2x+sin2x=1.
Solution
attention ! cosx est positif car c’est le quotient de deux distances. Donc cosx=− 0,64 ne peut pas être une solution.
Nous savons que, pour tout angle aigu de mesure x, on a :cos2x+sin2x=1.
Alors cos2x=1−sin2x.
cos2x=1−(0,6)2 soit cos2x=1−0,36 ou encore cos2x=0,64.
Nous avons deux solutions : cosx=+ 0,64 et cosx=− 0,64.
Puisque cos x doit être positif, la réponse finale est : cosx=+ 0,64=0,8.