Utiliser les relations trigonométriques dans un triangle rectangle

Rappels de cours

1 Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Soit un triangle $\text{ABC}$, rectangle en $\text{A}$.

2 Relations fondamentales

Pour tout angle aigu de mesure $x$, on a :

${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ et $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.

Méthodes

Calculer les mesures des côtés et des angles d’un triangle rectangle

Soit un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$.

On pose : $\text{BC}=a$, $\text{AC}=b$ et $\text{AB}=c$.

Les mesures des côtés du triangle sont exprimées en centimètres et seront calculées à $0,\text{1 cm}$ près. Les mesures des angles sont exprimées en degrés et seront calculées à un degré près.

Compléter le tableau suivant, en indiquant succinctement les calculs effectués.

Repère
conseils

• Commencez par tracer une figure.

• $\hat{\text{B}}\text{+}\hat{\text{C}}=\text{90°}$ puisque le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$.

• Utilisez votre calculatrice.

Repère
Solution

Utilisons les formules suivantes :

• $\cos \hat{\text{B}}=\frac{c}{a}$

• $\cos \hat{\text{C}}=\frac{b}{a}$

• $\sin \hat{\text{B}}=\frac{b}{a}$

• $\sin \hat{\text{C}}=\frac{c}{a}$

• $\tan \hat{\text{B}}=\frac{b}{c}$

• $\tan \hat{\text{C}}=\frac{c}{b}$

$a$	$b$	$c$	$\hat{\text{B}}$	$\hat{\text{C}}$
$9$	$\mathrm{7,6}$	$\mathrm{4,8}$	$58$	$32$
$\mathrm{5,6}$	$\mathrm{4,5}$	$\mathrm{3,3}$	$54$	$36$
$\mathrm{33,1}$	$\mathrm{32,1}$	$8$	$76$	$14$
$5$	$3$	$4$	$37$	$53$
$18$	$\mathrm{15,6}$	$9$	$60$	$30$

Calculer le cosinus d’un angle aigu connaissant son sinus

L’un des angles aigus d’un triangle rectangle mesure $x$ degrés. Sachant que $\sin x=\mathrm{0,6}$, calculer la valeur exacte de $\cos x$.

Repère
conseils

Utilisez la formule ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

Repère
Solution

attention ! $\cos x$ est positif car c’est le quotient de deux distances. Donc $\cos x=-\sqrt{\mathrm{0,64}}$ ne peut pas être une solution.

Nous savons que, pour tout angle aigu de mesure $x$, on a :${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

Alors ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.

${\cos }^{2}x=1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^2$ soit ${\cos }^{2}x=1-\mathrm{0,36}$ ou encore ${\cos }^{2}x=\mathrm{0,64}$.

Nous avons deux solutions : $\cos x=+\sqrt{\mathrm{0,64}}$ et $\cos x=-\sqrt{\mathrm{0,64}}$.

Puisque cos x doit être positif, la réponse finale est : $\cos x=+\sqrt{\mathrm{0,64}}=\mathrm{0,8}$.