Volumes et patrons (3)

Exercice 1

Une pièce d'un euro fait 23,25 mm de diamètre et 2,33 mm d'épaisseur. Quel est approximativement son volume ?

Une pièce d’un euro peut être modélisée par un cylindre de révolution.

👉 Petit conseil : dès que tu vois diamètre et épaisseur, pense automatiquement cylindre.

1) Conversion des unités

On travaille en centimètres pour obtenir un volume en $\text{cm}^3$.

Diamètre : $23{,}25\ \text{mm} = 2{,}325\ \text{cm}$
Rayon : $r = \dfrac{2{,}325}{2} = 1{,}1625\ \text{cm}$

Épaisseur (hauteur du cylindre) :
$2{,}33\ \text{mm} = 0{,}233\ \text{cm}$

👉 Petit conseil : ne saute jamais l’étape de conversion, c’est le piège principal de ce type d’exercice.

2) Formule du volume d’un cylindre

$V = \pi \times r^2 \times h$

On remplace :
$V \approx 3{,}14 \times (1{,}1625)^2 \times 0{,}233$

3) Calcul

$(1{,}1625)^2 \approx 1{,}35$

$V \approx 3{,}14 \times 1{,}35 \times 0{,}233$
$V \approx 0{,}99\ \text{cm}^3$

Conclusion

Le volume d’une pièce d’un euro est environ $1\ \text{cm}^3$.

La bonne réponse est donc : B.

👉 Petit conseil : pour une pièce de monnaie, si tu trouves un volume proche de $1\ \text{cm}^3$, c’est un bon ordre de grandeur. Toujours vérifier la cohérence du résultat !

Exercice 2

On te demande : « Quel est le volume d’un boulon ? »
Le boulon est un prisme droit (base hexagonale) percé d’un cylindre (le trou).
Donc le volume cherché est :

$V = V_{\text{prisme}} - V_{\text{trou}}$

Or on te donne directement les aires :

• aire de l’hexagone : $1\ \text{cm}^2$

• aire du trou : $0{,}25\ \text{cm}^2$

👉 Petit conseil : quand on te donne les surfaces de base, inutile de recalculer avec des côtés ou des rayons : tu peux aller directement au volume.

1) Aire “utile” de la base

$A_{\text{utile}} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\ \text{cm}^2$

2) Conversion de la hauteur

La hauteur est $4\ \text{mm}$, donc en cm :
$4\ \text{mm} = 0{,}4\ \text{cm}$

👉 Petit conseil : pense toujours “$10\ \text{mm} = 1\ \text{cm}$”, donc pour passer en cm tu divises par $10$.

3) Volume du boulon

$V = A_{\text{utile}} \times h$
$V = 0{,}75 \times 0{,}4$
$V = 0{,}30\ \text{cm}^3$

Conclusion

Le volume est environ $0{,}3\ \text{cm}^3$.
La bonne réponse est C : $0{,}3\ \text{cm}^3$.

👉 Petit conseil : pour vérifier, regarde l’ordre de grandeur : la base utile est inférieure à $1\ \text{cm}^2$ et la hauteur vaut $0{,}4\ \text{cm}$, donc le volume doit être inférieur à $0{,}4\ \text{cm}^3$ : $0{,}3$ est cohérent.

Exercice 3

Agathe plonge la pierre dans un verre cylindrique : le volume de la pierre est donc égal au volume d’eau déplacé.

👉 Petit conseil : dès que le niveau d’un liquide monte, pense volume déplacé = volume de l’objet immergé.

1) Modélisation

Le verre est un cylindre :

• diamètre : $6\ \text{cm}$

• rayon : $r = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}$

• hausse du niveau d’eau (hauteur) : $h = 1\ \text{cm}$

Le volume déplacé correspond au volume d’un cylindre de hauteur $1\ \text{cm}$.

2) Calcul du volume

Formule du volume d’un cylindre :
$V = \pi \times r^2 \times h$

On remplace :
$V \approx 3{,}14 \times 3^2 \times 1$
$V \approx 3{,}14 \times 9$
$V \approx 28{,}3\ \text{cm}^3$

Conclusion

Le volume de la pierre est environ $28\ \text{cm}^3$.

La bonne réponse est C.

👉 Petit conseil : quand tu hésites entre plusieurs réponses, vérifie l’ordre de grandeur. Avec un rayon de $3\ \text{cm}$, une hausse de seulement $1\ \text{cm}$ donne déjà un volume assez grand : quelques $\text{cm}^3$ seraient beaucoup trop petits.