Volumes et patrons (2)

Exercice 1

La figure ci-dessous représente un prisme droit en perspective cavalière. Quelle affirmation est fausse ?

Vérification des affirmations

A : le prisme a 8 faces
Cette affirmation est vraie.

B : le prisme a 10 arêtes
Or le prisme a $18$ arêtes.
👉 Cette affirmation est fausse.

C : le prisme a 18 arêtes
Cette affirmation est vraie.

D : le prisme a 12 sommets
Cette affirmation est vraie.

Conclusion

L’affirmation fausse est la réponse B.

👉 Petit conseil : dès que tu reconnais la forme de la base d’un prisme, note immédiatement le nombre de côtés. Avec $n$, tu peux retrouver faces, arêtes et sommets avec un peu d'habitude sans tout recompter sur le dessin !

La figure représente un prisme droit dont la base est un hexagone (on compte 6 côtés sur la base).

Pour répondre à la question, on analyse chaque affirmation.

Un prisme droit de base un polygone à $n$ côtés possède :

• $n + 2$ faces

• $3n$ arêtes

• $2n$ sommets

Ici, la base a $n = 6$ côtés.

On calcule donc :

• nombre de faces : $6 + 2 = 8$

• nombre d’arêtes : $3 \times 6 = 18$

• nombre de sommets : $2 \times 6 = 12$

Exercice 2

Une seule des figures ci-dessous est le patron d'un cylindre de révolution. Laquelle ?

On cherche le patron d’un cylindre de révolution.

Rappel important :
Le patron d’un cylindre de révolution est composé de :

• un rectangle (surface latérale),

• deux disques identiques (les bases),

• chaque disque doit être accolé à un grand côté du rectangle.

Analyse des figures

Figure A
Les deux disques ne sont pas placés sur les grands côtés du rectangle de manière correcte : ils ne correspondent pas aux deux bases du cylindre.
👉 Ce n’est pas un patron de cylindre.

Figure B
Les deux disques sont identiques et chacun est placé contre un grand côté du rectangle.
Le repliement permet de former correctement un cylindre de révolution.
👉 C’est le bon patron.

Figure C
Même si le rectangle est présent, la position des disques ne permet pas un repliement correct autour du rectangle.
👉 Ce n’est pas un patron de cylindre.

Figure D
Les disques ne sont pas correctement positionnés par rapport au rectangle : le patron ne peut pas se refermer en cylindre.
👉 Ce n’est pas un patron de cylindre.

Conclusion

Une seule figure est le patron d’un cylindre de révolution : la figure B.

👉 Petit conseil : pour reconnaître le patron d’un cylindre, vérifie toujours que les deux cercles sont collés aux grands côtés du rectangle. Si un cercle est mal placé, le cylindre ne pourra pas se former correctement !

Exercice 3

Une piscine avec un plan incliné a la forme d'un prisme droit. Les dimensions sont données sur la figure ci-dessus. Combien faut-il de litres d'eau pour la remplir à ras-bord ?

On lit sur la figure que la section “de profil” est un trapèze :

• grandes bases : $12\ \text{m}$ et $16\ \text{m}$

• hauteur du trapèze : $2{,}50\ \text{m}$

• longueur du prisme (la piscine “part en profondeur”) : $20\ \text{m}$

1. Aire de la base (trapèze)
   $A = \dfrac{(12+16)\times 2{,}50}{2}$
   $A = \dfrac{28\times 2{,}50}{2}$
   $A = 14\times 2{,}50$
   $A = 35\ \text{m}^2$

👉 Petit conseil : sur un prisme droit, identifie d’abord la “section constante” (la base). Ensuite seulement, multiplie par la longueur du prisme.

2. Volume du prisme
   $V = A \times 20$
   $V = 35 \times 20$
   $V = 700\ \text{m}^3$

3. Conversion en litres
   $700\ \text{m}^3 = 700,000\ \text{L}$

Conclusion : la bonne réponse est A : $700\,000$.

👉 Petit conseil : retiens $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$. Donc tu ajoutes trois zéros en passant en litres.