Des aires dans un triangle

Exercice 1

Dans le triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[BC]$.

• Les triangles $ABM$ et $ACM$ ont la même hauteur issue de $A$ (c’est la distance de $A$ à la droite $(BC)$, donc cette hauteur $h$ est commune).

• Leurs bases sont $BM$ et $MC$, et comme $M$ est milieu, $BM = MC$.

Aire de $ABM = \dfrac{BM \times h}{2}$
Aire de $ACM = \dfrac{MC \times h}{2}$

Puisque $BM = MC$, ces deux aires sont égales.

Exercice 2

Dans le triangle $ABC$, les médianes $(AF)$, $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $G$, (ce point s'appelle le centre de gravité du triangle ABC).

Dans le triangle $AGC$ : $H$ milieu de $[CG]$.
D’après l’exercice 1 : $\text{aire}(AHG) = \text{aire}(AHC)$.

Dans le triangle $CGB$ : $I$ milieu de $[BG]$.
D’après l’exercice 1 : $\text{aire}(CIG) = \text{aire}(CIB)$.

Dans le triangle $BGA$ : $J$ milieu de $[AG]$.
D’après l’exercice 1 : $\text{aire}(BJG) = \text{aire}(BJA)$.

Les médianes $(AF)$, $(BD)$, $(CE)$ partagent $ABC$ en six petits triangles d’aires égales.
Chaque petit triangle a une aire égale à $\dfrac{1}{6}$ de $\text{aire}(ABC)$.

L’hexagone $FIEJDH$ est formé exactement de trois de ces petits triangles plus trois autres obtenus par symétrie via les égalités ci-dessus. En comptant : il contient 6 des 12 moitiés symétriques issues des étapes 1, 2, 3, ce qui fait la moitié de l’aire totale.

Donc $\text{aire}(FIEJDH) = \dfrac12 \times \text{aire}(ABC)$.