Variations de fonctions (3)

Soit $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{2\}$.

C passe par le point $A(0;5)$ :
$\Longleftrightarrow f(0)=5$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a0^2+b0+c}{0-2}=5$
$\Longleftrightarrow \dfrac{c}{-2}=5$
$c=-10$

La tangente à $(C)$ au point $A(0;5)$ est parallèle à l'axe des abscisses :
Posons $u(x)=ax^2+bx+c$ et $v(x)=x-2$
$u'(x)=2ax+b$ $v'(x)=1$
$D_u'=\mathbb{R}$ $D_v'=\mathbb{R}$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\backslash\{2\}$.
$f'(x)=\dfrac{(2ax+b)(x-2)-ax^2-bx-c}{(x-2)^2}=\dfrac{2ax^2-4ax+bx-2b-ax^2-bx-c}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{ax^2-4ax-2b-c}{(x-2)^2}$
Donc,
$f'(0)=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a0^2-4a0-2b-c}{(x-2)^2}=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{-2b-c}{4}=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{-2b}{4}-\dfrac{10}{4}=0$
$\Longleftrightarrow b=5$

La tangente à $(C)$ au point $B(1;y)$ a pour coefficient directeur $-3$ :
$\Longleftrightarrow f'(1)=-3$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a1^2-4a1-2(5)+10}{(x-2)^2}=-3$
$\Longleftrightarrow a=1$

Ainsi, on a déterminé $a$, $b$ et $c$ pour que $(C)$ réponde aux trois propriétés proposées.

Il est possible de vérifier que l'on ne s'est pas trompé en affichant le graphique à sur la calculatrice et en vérifiant les $3$ propriétés graphiquement.

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+5x-10}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{2\}$
$f$ est dérivable sur $D_f$
$f'(x)=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}$
Le dénominateur est strictement positif (carré non nul), donc la dérivée a le même signe que $x(x-4)$ qui est un polynôme du second degré, positif à l'extérieur des racines $0$ et $4$ et négatif entre les racines (sous condition de l'ensemble de définition bien sûr). On obtient alors le tableau de variations suivant :

Courbe