Fonction dérivée

I. Définition

Soit $f$ définie sur $I$. Si $f$ est dérivable pour tout réel $a \in I$, alors on dit que $f$ est dérivable en $I$.

La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$, notée $f'$ : $f' : x \mapsto f'(x)$

II. Exemples

$\checkmark$ Soit $f(x) = x^2$. Cherchons le nombre dérivé de $f$ en $a$.

Étudions la dérivabilité de $f$ en $a$.

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2a h + h^2$

$f(a) = a^2$

$\tau(h) = \dfrac{a^2 + 2a h + h^2 - a^2}{h}$

$\phantom{\tau(h)}= \dfrac{2a h + h^2}{h}$

$\phantom{\tau(h)}= \dfrac{h(2a + h)}{h}$

$\phantom{\tau(h)}= 2a + h$

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a \in \mathbb{R}$

Donc $f'(a) = 2a$.

Ainsi, $\forall a \in \mathbb{R}$, $f$ est dérivable.

On a donc la dérivée suivante : $f'(x) = 2x$.

$\checkmark$ Soit la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{x-2}{x-3}$ sur $\mathbb R\setminus\{3\}$.

Étudions la dérivabilité de $f$ en $a$.

$f(a)=\dfrac{a-2}{a-3} \text{ et } f(a+h)=\dfrac{a+h-2}{a+h-3}$

On calcule le taux de variation :

$\tau=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$\tau=\dfrac{\dfrac{a+h-2}{a+h-3}-\dfrac{a-2}{a-3}}{h}$, on réduit au même dénominateur :

$\tau= \dfrac{(a+h-2)(a-3)-(a-2)(a+h-3)}{(a+h-3)(a-3)h}$, on développe et on simplifie :

$\tau = \dfrac{-h}{(a+h-3)(a-3)h}$, on simplifie par $h$ :

$\tau = \dfrac{-1}{(a+h-3)(a-3)}$ , on fait tendre $h$ vers $0$, alors $a+h-3$ tend vers $a-3$,

donc lorsque $h$ tend vers $0$, $\tau$ admet une limite finie qui est :

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\tau=\dfrac{-1}{(a-3)^2}$.

On a donc trouvé que pour tout $a\neq 3$, la fonction $f$ est dérivable en $a$.

On a construit la fonction dérivée : $f'\,:\,a\mapsto \dfrac{-1}{(a-3)^2}$ définie sur $\mathbb R\setminus\{3\}$

Le nombre $a$ est une variable muette, appelons la $x$.

On obtient : pour tout $x\in \mathbb R\setminus\{3\}$, $f'(x)=\dfrac{-1}{(x-3)^2}$