Variations de fonctions (2)

Exercice 1

Soit $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x$
On étudie le signe de $f'$ puis on en déduit les variations de $f$ :
$\dfrac{3}{4}x^2-2x=0 \Longleftrightarrow x\left(\dfrac{3}{4}x-2\right)=0$
Donc $S=\left\lbrace 0;\dfrac{8}{3}\right\rbrace$

Avec :
$f(0)=1$
$f\left(\dfrac{8}{3}\right)=-\dfrac{37}{27}$

Soit $A(2;y) \in (C)$.

a) $f$ est dérivable en $2$ donc $(D)$ existe bien.
$a=2$ $f(a)=-1$ $f'(a)=-1$
Ainsi, $(D)$ a pour équation :
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
$y=-1(x-2)-1$
$y=-x+1$
Donc $t(x)=-x+1$

b) Posons $d(x)=f(x)-t(x)$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1+x-1$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x(x^2-4x+4)$
$d(x)=\dfrac{1}{4}x(x-2)^2$

c) Position relative de $(C)$ par rapport à $(D)$.
Il faut étudier le signe de la différence des deux fonctions $t(x)$ et $f(x)$ soit, étudier le signe de $d(x)$.

Ainsi, sur ]$-\infty;0[$ : $f(x)-t(x)<0\Longleftrightarrow f(x)<t(x)$

et sur $]0;2[\cup ]2;+\infty[$ , $f(x)-t(x)>0\Longleftrightarrow f(x)>t(x)$

d) Courbe

Exercice 2

Soit $(C)$ courbe d'équation $y=x^3-2x+3$.

Posons $f(x)=x^3-2x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $f'(x)=3x^2-2$.

Soit $(C')$ courbe d'équation $y=2x^2-3x+3$.

Posons $g(x)=2x^2-3x+3$ définie sur $\mathbb{R}$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $g'(x)=4x-3$.

$1.$ Déterminer les coordonnées des points communs à $(C)$ et $(C')$ revient à déterminer les solutions de l'équation :

$x^3-2x+3=2x^2-3x+3$ $\Longleftrightarrow x^3-2x^2+x=0$ $\Longleftrightarrow x(x^2-2x+1)=0$ $\Longleftrightarrow x(x-1)^2=0$

Ainsi, $S=\left\lbrace 0;1\right\rbrace$ et $(C)$ et $(C')$ ont deux points communs $\alpha$ et $\beta$ d'abscisse respective $0$ et $1$

Calcul de leur ordonnée : $g(0)=3$ $g(1)=2$

Les points communs à $(C)$ et $(C')$ sont donc $\alpha(0;3)$ et $\beta(1;2)$.

$2.$Tangente à $(C)$ en $\alpha$ : $f$ est dérivable en $0$ donc la tangente existe bien $a=0$ ; $f(a)=3$ ;

$f'(a)=-2$ $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ $y=-2x+3$.

Tangente à $(C')$ en $\alpha$ : $g$ est dérivable en $0$ donc la tangente existe bien. $a=0$ ; $f(a)=3$ ; $f'(a)=-3$ $y=-3x+3$

Tangente à $(C)$ en $\beta$: $f$ est dérivable en $1$ donc la tangente existe bien. $a=1$ ; $f(a)=2$ ; $f'(a)=1$ $y=x+1$

Tangente à $(C')$ en $\beta$: $g$ est dérivable en $1$ donc la tangente existe bien. $a=1$ ; $f(a)=2$ ; $f'(a)=1$ $y=x+1$

$3.$ Étude des variations de $f$ :

Soit $f(x)=x^3-2x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. $f'(x)=3x^2-2$

On cherche les solutions de l'équation $f'(x)=0$: $\Longleftrightarrow 3x^2-2=0$ $\Longleftrightarrow 3x^2=2$ $\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{2}{3}$ $\Longleftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

Étude des variations de $g$ :

Soit $g(x)=2x^2-3x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.

$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. $g'(x)=4x-3$

On cherche les solutions de l'équation $g'(x)=0$: $\Longleftrightarrow 4x-3=0$ $\Longleftrightarrow 4x=3$ $\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$

Courbe, points d'intersection et tangentes en ces points.