Dérivée et tangente d’une fonction rationnelle (aller plus loin avec les asymptotes)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{-x^3+5x}{x^2+3}$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.

1. a) Si $f(x)=ax+\dfrac{bx}{x^2+3}$
   $f(x)=\dfrac{ax(x^2+3)+bx}{x^2+3}$
   $f(x)=\dfrac{ax^3+3ax+bx}{x^2+3}$
   Par identification :
   $a=-1$
   $3a+b=5 \Longleftrightarrow -3+b=5 \Longleftrightarrow b=8$
   Donc $f(x)=-x+\dfrac{8x}{x^2+3}$

2. b) Soit $f(x)=-x+\dfrac{8x}{x^2+3}$ et $D_f=\mathbb{R}$

• $D_f$ est symétrique par rapport à 0

• $f(-x)=x-\dfrac{8x}{x^2+3}=-f(x)$
  Donc $f$ est impaire et sa courbe représentative $C$ est symétrique par rapport à l’origine du repère.

2. a) Soit $f(x)=\dfrac{-x^3+5x}{x^2+3}$ et $D_f=\mathbb{R}$.
   Posons $u(x)=-x^3+5x$ et $v(x)=x^2+3$.
   $u'(x)=-3x^2+5$ et $v'(x)=2x$
   Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   $f'(x)=\dfrac{(-3x^2+5)(x^2+3)-2x(-x^3+5x)}{(x^2+3)^2}$
   $f'(x)=\dfrac{-3x^4-9x^2+5x^2+15+2x^4-10x^2}{(x^2+3)^2}$
   $f'(x)=\dfrac{-x^4-14x^2+15}{(x^2+3)^2}$
   $f'(x)=\dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$

3. b) Soit $f'(x)=\dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$.

• $x^2+15>0$

• $(x^2+3)^2>0$

• $1-x^2=0 \Longleftrightarrow x=1$ ou $x=-1$

3. À l’origine : $a=0$, $f(a)=0$, $f'(a)=\dfrac{5}{3}$.
   Une équation de la tangente $T$ est donc $y=f'(a)(x-a)+f(a)=\dfrac{5}{3}x$.

4. a) Soit $D$ la droite d’équation $y=-x$.
   On calcule $f(x)+x=\dfrac{8x}{x^2+3}$.

Sur $]-\infty;0[$ : $f(x)<-x$, donc la courbe $C$ est en dessous de la droite $D$.
Sur $]0;+\infty[$ : $f(x)>-x$, donc la courbe $C$ est au-dessus de la droite $D$.

4. b) $f(x)-(-x)=\dfrac{-x^3+5x}{x^2+3}+x$
   $f(x)-(-x)=\dfrac{-x^3+5x+x^3+3x}{x^2+3}$
   $f(x)-(-x)=\dfrac{8x}{x^2+3}$
   $f(x)-(-x)=\dfrac{8x}{x^2\left(1+\dfrac{3}{x^2}\right)}$
   $f(x)-(-x)=\dfrac{8}{x\left(1+\dfrac{3}{x^2}\right)}$

Quand $x$ devient très grand, cette expression se rapproche de $0$.
On peut donc dire que, lorsque $x$ est grand, la courbe $C$ se rapproche de la droite $y=-x$.

👉 Pour aller plus loin : On dit que la droite d'équation $y=-x$ est asymptote à la courbe.

5. Pour tracer $D$, $T$ et $C$ sur un même graphique :

• $D:\ y=-x$

• $T:\ y=\dfrac{5}{3}x$

• Points d’intersection de $C$ avec l’axe des abscisses : résoudre $-x^3+5x=0 \Longleftrightarrow -x(x^2-5)=0$.
  On obtient $x=0$, $x=\sqrt{5}$ et $x=-\sqrt{5}$.
  Ainsi $C$ coupe l’axe des abscisses en $(0;0)$, $(\sqrt{5};0)$ et $(-\sqrt{5};0)$.