Dérivation et extremum d'une fonction

I. Définitions

Soit $f$ définie sur $I$ et $x_0 \in I$.

$\circ\quad$ $f$ admet un maximum sur $I$ atteint en $x_0$ signifie que pour tout $x \in I$ :

$f(x) \leq f(x_0)$

$M = f(x_0)$ est appelé maximum de la fonction sur $I$.

$\circ\quad$ $f$ admet un minimum sur $I$ atteint en $x_0$ signifie que pour tout $x \in I$ :

$f(x) \geq f(x_0)$

$m = f(x_0)$ est appelé minimum de la fonction sur $I$.

L’étude des variations de $f$ permet la détermination des extrema éventuels, c'est-à-dire des maximums et des minimums.

Si $m$ ou $M$ est un extremum de $f$ sur un intervalle ouvert $I$ de l’ensemble de définition, on dit que $m$ ou $M$ est un extremum local de $f$ sur l’ensemble de définition.

Remarque : Cas des fonctions strictement monotones sur un fermé borné.

Si $f$ est strictement croissante sur $[a ; b]$, on peut admettre que $f$ admet des extrema aux bornes de l’intervalle $[a ; b]$.

II. Dérivée et extremum

Théorème n°1

Si une fonction $f$, dérivable sur un intervalle ouvert $I$, admet un extremum local sur $I$ atteint en $c$, alors :

$f'(c) = 0$.

Cela signifie que la tangente en $c$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Théorème n°2

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert $I$, et soit $c \in I$.

Si la dérivée de $f$ s’annule en $c$ en changeant de signe, alors $f(c)$ est un extremum (au moins local) de $f$ sur $I$.

III. Un exemple traité

Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 52 x^2+4x-1$.

$f$ est un polynôme dérivable sur $\mathbb R$.

$\checkmark$ Calcul de $f'(x)$ : $f'(x)=\dfrac 13\times 3x^2-\dfrac 52\times 2x+4$.

$f'(x)=x^2-5x+4$.

$\checkmark$ Signe de la dérivée :

La dérivée est un polynôme du second degré qui admet une solution visible $x=1$. Sa deuxième solution est donc $x=4$ en utilisant le produit des racines.

Ce polynôme est du signe du coefficient de $x^2$, ici $1$ à l'extérieur des racines, donc positif à l'extérieur des racines.

Remarque : $f(1)=\dfrac 56$ et $f(4)=-\dfrac{11}{3}$.

ligne 1 : $f$ est définie sur $\mathbb R$

ligne 2 : report du signe de la dérivée

ligne 3 : variations de $f$