Signe de la dérivée et variations d'une fonction

I. Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ :

$\circ\quad$ Si $f$ est croissante, alors $f' \geq 0$ sur $I$.

$\circ\quad$ Si $f$ est décroissante, alors $f' \leq 0$ sur $I$.

$\circ\quad$ Si $f$ est constante, alors $f' = 0$ sur $I$.

Démonstration : Dans le cas où $f$ est croissante sur $I$.

Si $h > 0$ :

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$a+h > a$, donc $f(a+h) > f(a)$ car $f$ est croissante sur $I$.

Ainsi, on a $f(a+h) - f(a) > 0$.

$h > 0$, donc $\tau(h)$ est le quotient de deux quantités positives. Donc $\tau(h) > 0$.

On a donc :

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) \geq 0$

Donc $f' \geq 0$.

Si $h < 0$ :

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$a+h < a$, donc $f(a+h) < f(a)$ car $f$ est croissante sur $I$.

Ainsi, on a $f(a+h) - f(a) < 0$.

$h < 0$, donc $\tau(h)$ est le quotient de deux quantités négatives. Donc $\tau(h) > 0$.

On a donc :

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) \geq 0$

Donc $f' \geq 0$.

II. Théorème réciproque (admis)

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ :

$\circ\quad$ Si $f' \geq 0$, alors $f$ est croissante sur $I$.

$\circ\quad$ Si $f' \leq 0$, alors $f$ est décroissante sur $I$.

$\circ\quad$ Si $f' = 0$, alors $f$ est constante sur $I$.

Attention : Ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple, la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{-}$ et sur $\mathbb{R}^{+}$, mais pas sur $\mathbb{R}^{*}$.

III. Un exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=3x^2-12x+4$.

$f$ est une fonction polynôme, dérivable sur $\mathbb R$. Pour déterminer ses variations, on peut étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$.

$f'(x)=3\times 2x-12=6x-12$.

Étudions le signe de cette dérivée.

$f'(x)\ge 0\iff 6x-12\ge 0\iff x\ge 2$.

Ce qui peut se résumer dans le tableau suivant :

D'après le théorème réciproque, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\;;\;2]$ et strictement croissante sur $[2\;;\;+\infty[$.

On peut résumer ces résultats dans ce qu'on appelle un tableau de variations :

1^re ligne : l'ensemble décrit par $x$

2^e ligne : le signe de la dérivée

3^e ligne : les variations de $f$

Remarque : $f(2)=3\times 2^2-12\times 2+4=-8$.

En "face" de la valeur $x=2$, on écrit que son image par $f$ est $f(2)=-8$.