Traduire un dessin par une équation du second degré

On observe sur la figure 3 carrés “en escalier”, et les flèches indiquent que l’écart de hauteur entre deux carrés successifs est de $2~cm$.

👉 Petit conseil : sur un dessin, la “hauteur” d’un carré, c’est tout simplement la longueur de son côté.

1) Choisir une inconnue et exprimer les côtés des 3 carrés

On note $x$ la longueur du côté du plus petit carré (en cm).

Alors :

• le carré du milieu a pour côté $x+2$

• le plus grand carré a pour côté $x+4$

👉 Petit conseil : pense toujours “+2 puis encore +2”, donc $x$, $x+2$, $x+4$.

2) Traduire la condition “somme des aires = $80$”

L’aire d’un carré de côté $c$ est :
$A=c^2$

Donc la somme des aires vaut :
$x^2+(x+2)^2+(x+4)^2=80$

3) Développer et réduire

On développe :
$(x+2)^2=x^2+4x+4$
$(x+4)^2=x^2+8x+16$

On remplace dans l’équation :
$x^2+(x^2+4x+4)+(x^2+8x+16)=80$

On regroupe :
$3x^2+12x+20=80$

On met tout du même côté :
$3x^2+12x-60=0$

On simplifie par $3$ :
$x^2+4x-20=0$

👉 Petit conseil : simplifier une équation (ici par $3$) évite des calculs lourds ensuite.

4) Résoudre l’équation du second degré

On calcule le discriminant :
$\Delta=4^2-4\times 1\times(-20)$
$\Delta=16+80=96$

Donc :
$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{96}}{2}$

Or :
$\sqrt{96}=\sqrt{16\times 6}=4\sqrt{6}$

Ainsi :
$x=\dfrac{-4\pm 4\sqrt{6}}{2}=-2\pm 2\sqrt{6}$

Comme $x$ est une longueur, on garde la solution positive :
$x=-2+2\sqrt{6}$

Valeur approchée :
$x\approx -2+2\times 2{,}449\approx 2{,}90$

👉 Petit conseil : une longueur ne peut pas être négative, donc tu élimines automatiquement $-2-2\sqrt{6}$.

5) Donner les dimensions des 3 carrés

• Petit carré : côté $x=-2+2\sqrt{6}\approx 2{,}90~cm$

• Carré du milieu : côté $x+2=2\sqrt{6}\approx 4{,}90~cm$

• Grand carré : côté $x+4=2+2\sqrt{6}\approx 6{,}90~cm$

👉 Petit conseil : tu peux faire un contrôle rapide : les côtés augmentent bien de $2~cm$ à chaque fois, comme sur la figure.

Description SEO : Tu vas apprendre à traduire un dessin en équation, puis à résoudre un problème d’aires avec une équation du second degré pour retrouver les dimensions des carrés.
Mots clés SEO : aire d’un carré, équation, second degré, discriminant, géométrie 2nde