Résolution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$

L’objectif de cette partie est de résoudre des équations du type $ax^2 + bx + c = 0$ .

On considère l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ et d’après la partie précédente, nous avons :

$ax^2 + bx + c = a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right]$

On veut donc résoudre $a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right] = 0$

On sait par hypothèse que $a \neq 0$ donc il suffit de résoudre l’équation :

$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif ( $\Delta \lt 0$ )

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Lorsque le discriminant du trinôme est négatif, l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ n’admet aucune solution réelle.

Démonstration :

On a $4a^2 \gt 0$ donc $-\dfrac{\Delta}{4a^2} \gt 0$ .

Ainsi,
$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = -\dfrac{\Delta}{4a^2}$ .

Or, un carré est toujours positif ou nul, donc l’égalité ci-dessus n’a pas de solution réelle.

Exemple :

Résolvons l’équation $x^2 + x + 1 = 0$ .

$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \lt 0$ .

Donc cette équation n’admet aucune solution dans $\mathbb{R}$ .

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta \lt 0$ , on sait que le trinôme n’a pas de racine réelle. Il n’est donc pas factorisable sur $\mathbb{R}$ .

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ( $\Delta = 0$ )

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Si $\Delta = 0$ , l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet une unique solution appelée racine double : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ .

Démonstration :

On a $-\dfrac{\Delta}{4a^2} = 0$ .

On résout donc $\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = 0$ .

Ainsi, $x + \dfrac{b}{2a} = 0$ , donc $x = -\dfrac{b}{2a}$ .

Il y a donc une seule solution.

Exemple :

Résolvons l’équation $x^2 + 2x + 1 = 0$ .

$\Delta = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$ .

Cette équation admet une unique solution égale à :

$x_0 = -\dfrac{2}{2 \times 1} = -1$ .

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta = 0$ , pour tout réel $x$ , on a :

$ax^2 + bx + c = a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2$ .

Remarque : Si $\Delta =0$ on remarquera qu'on a tout simplement une identité remarquable.

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif ( $\Delta \gt 0$ )

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Si $\Delta \gt 0$ , l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet deux solutions notées $x_1$ et $x_2$ , appelées racines du trinôme, et sont de la forme :

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Démonstration

On a $4a^2 \gt 0$ donc $-\dfrac{\Delta}{4a^2} \lt 0$ , ce qui permet d’écrire :

$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} = 0$

$\small\Leftrightarrow \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$

$\small\Leftrightarrow \left[ x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$

$\small\Leftrightarrow \left[ x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$

Un produit de facteurs est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.

Donc nous obtenons :

$x_1 = -\dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = -\dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Il y a donc deux solutions.

Exemple : Résolution de l’équation $-2x^2 + x + 4 = 0$

Calcul du discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta = 1^2 - 4(-2)(4)$

$\Delta = 1 + 32$

$\Delta = 33 \gt 0$

Donc il existe deux racines :

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Substituons les valeurs de $a$ , $b$ et $\Delta$ :

$x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{-4}$ et $x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{-4}$ .

En simplifiant :

$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{4}$ et $x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta \gt 0$ , on sait que le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$ . Pour tout réel $x$ , on a :

$ax^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2)$ .

IV. Bilan

Si j'appelle $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ ,

picture-in-text

Résolution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$

L’objectif de cette partie est de résoudre des équations du type $ax^2 + bx + c = 0$ .

On considère l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ et d’après la partie précédente, nous avons :

$ax^2 + bx + c = a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right]$

On veut donc résoudre $a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right] = 0$

On sait par hypothèse que $a \neq 0$ donc il suffit de résoudre l’équation :

$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif ( $\Delta \lt 0$ )

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Lorsque le discriminant du trinôme est négatif, l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ n’admet aucune solution réelle.

Démonstration :

On a $4a^2 \gt 0$ donc $-\dfrac{\Delta}{4a^2} \gt 0$ .

Ainsi,
$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = -\dfrac{\Delta}{4a^2}$ .

Or, un carré est toujours positif ou nul, donc l’égalité ci-dessus n’a pas de solution réelle.

Exemple :

Résolvons l’équation $x^2 + x + 1 = 0$ .

$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \lt 0$ .

Donc cette équation n’admet aucune solution dans $\mathbb{R}$ .

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta \lt 0$ , on sait que le trinôme n’a pas de racine réelle. Il n’est donc pas factorisable sur $\mathbb{R}$ .

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ( $\Delta = 0$ )

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Si $\Delta = 0$ , l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet une unique solution appelée racine double : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ .

Démonstration :

On a $-\dfrac{\Delta}{4a^2} = 0$ .

On résout donc $\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = 0$ .

Ainsi, $x + \dfrac{b}{2a} = 0$ , donc $x = -\dfrac{b}{2a}$ .

Il y a donc une seule solution.

Exemple :

Résolvons l’équation $x^2 + 2x + 1 = 0$ .

$\Delta = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$ .

Cette équation admet une unique solution égale à :

$x_0 = -\dfrac{2}{2 \times 1} = -1$ .

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta = 0$ , pour tout réel $x$ , on a :

$ax^2 + bx + c = a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2$ .

Remarque : Si $\Delta =0$ on remarquera qu'on a tout simplement une identité remarquable.

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif ( $\Delta \gt 0$ )

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Si $\Delta \gt 0$ , l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet deux solutions notées $x_1$ et $x_2$ , appelées racines du trinôme, et sont de la forme :

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Démonstration

On a $4a^2 \gt 0$ donc $-\dfrac{\Delta}{4a^2} \lt 0$ , ce qui permet d’écrire :

$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} = 0$

$\small\Leftrightarrow \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$

$\small\Leftrightarrow \left[ x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$

$\small\Leftrightarrow \left[ x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$

Un produit de facteurs est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.

Donc nous obtenons :

$x_1 = -\dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = -\dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Il y a donc deux solutions.

Exemple : Résolution de l’équation $-2x^2 + x + 4 = 0$

Calcul du discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta = 1^2 - 4(-2)(4)$

$\Delta = 1 + 32$

$\Delta = 33 \gt 0$

Donc il existe deux racines :

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Substituons les valeurs de $a$ , $b$ et $\Delta$ :

$x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{-4}$ et $x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{-4}$ .

En simplifiant :

$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{4}$ et $x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta \gt 0$ , on sait que le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$ . Pour tout réel $x$ , on a :

$ax^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2)$ .

IV. Bilan

Si j'appelle $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ ,

picture-in-text

Résolution d'une équation du second degré

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif ( $\Delta \lt 0$ )

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ( $\Delta = 0$ )

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif ( $\Delta \gt 0$ )

IV. Bilan

Résolution d'une équation du second degré

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif ( $\Delta \lt 0$ )

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ( $\Delta = 0$ )

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif ( $\Delta \gt 0$ )

IV. Bilan

Orthographe

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Actualités

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Code de la route

Code moto

Examen

Code bateau

Mosalingua

Apprentissage des langues

digiSchool Langues

TOEIC

FLE

Orthographe

Concours

Préparations

Écoles

Culture générale

Résolution d'une équation du second degré

I. Cas n°1 : Δ\DeltaΔ est négatif (Δ<0\Delta \lt 0Δ<0)

II. Cas n°2 : Δ\DeltaΔ est nul (Δ=0\Delta = 0Δ=0)

III. Cas n°3 : Δ\DeltaΔ est positif (Δ>0\Delta \gt 0Δ>0)

IV. Bilan

Résolution d'une équation du second degré

I. Cas n°1 : Δ\DeltaΔ est négatif (Δ<0\Delta \lt 0Δ<0)

II. Cas n°2 : Δ\DeltaΔ est nul (Δ=0\Delta = 0Δ=0)

III. Cas n°3 : Δ\DeltaΔ est positif (Δ>0\Delta \gt 0Δ>0)

IV. Bilan

Orthographe

Annales

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Écoles

Culture générale

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif ( $\Delta \lt 0$ )

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ( $\Delta = 0$ )

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif ( $\Delta \gt 0$ )

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif ( $\Delta \lt 0$ )

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ( $\Delta = 0$ )

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif ( $\Delta \gt 0$ )