Résolution d'une équation du second degré

Résolution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$

L’objectif de cette partie est de résoudre des équations du type $ax^2 + bx + c = 0$.

On considère l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ et d’après la partie précédente, nous avons :

$ax^2 + bx + c = a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right]$

On veut donc résoudre $a \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right] = 0$

On sait par hypothèse que $a \neq 0$ donc il suffit de résoudre l’équation :

$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$

I. Cas n°1 : $\Delta$ est négatif ($\Delta \lt 0$)

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Lorsque le discriminant du trinôme est négatif, l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ n’admet aucune solution réelle.

Démonstration :

On a $4a^2 \gt 0$ donc $-\dfrac{\Delta}{4a^2} \gt 0$.

Ainsi,
$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = -\dfrac{\Delta}{4a^2}$.

Or, un carré est toujours positif ou nul, donc l’égalité ci-dessus n’a pas de solution réelle.

Exemple :

Résolvons l’équation $x^2 + x + 1 = 0$.

$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \lt 0$.

Donc cette équation n’admet aucune solution dans $\mathbb{R}$.

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta \lt 0$, on sait que le trinôme n’a pas de racine réelle. Il n’est donc pas factorisable sur $\mathbb{R}$.

II. Cas n°2 : $\Delta$ est nul ($\Delta = 0$)

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Si $\Delta = 0$, l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet une unique solution appelée racine double : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

Démonstration :

On a $-\dfrac{\Delta}{4a^2} = 0$.

On résout donc $\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = 0$.

Ainsi, $x + \dfrac{b}{2a} = 0$, donc $x = -\dfrac{b}{2a}$.

Il y a donc une seule solution.

Exemple :

Résolvons l’équation $x^2 + 2x + 1 = 0$.

$\Delta = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$.

Cette équation admet une unique solution égale à :

$x_0 = -\dfrac{2}{2 \times 1} = -1$.

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta = 0$, pour tout réel $x$, on a :

$ax^2 + bx + c = a \left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2$.

Remarque : Si $\Delta =0$ on remarquera qu'on a tout simplement une identité remarquable.

III. Cas n°3 : $\Delta$ est positif ($\Delta \gt 0$)

$\circ\quad$ Solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Théorème : Si $\Delta \gt 0$, l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet deux solutions notées $x_1$ et $x_2$, appelées racines du trinôme, et sont de la forme :

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Démonstration

On a $4a^2 \gt 0$ donc $-\dfrac{\Delta}{4a^2} \lt 0$, ce qui permet d’écrire :

$\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} = 0$.

$\Leftrightarrow \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ \left( x + \dfrac{b}{2a} \right) - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$.

$\Leftrightarrow \left[ x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$.

$\Leftrightarrow \left[ x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right] \left[ x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right] = 0$.

Un produit de facteurs est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.

Donc nous obtenons :

$x_1 = -\dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = -\dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Il y a donc deux solutions.

Exemple : Résolution de l’équation $-2x^2 + x + 4 = 0$

Calcul du discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta = 1^2 - 4(-2)(4)$

$\Delta = 1 + 32$

$\Delta = 33 \gt 0$

Donc il existe deux racines :

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Substituons les valeurs de $a$, $b$ et $\Delta$ :

$x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{-4}$ et $x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{-4}$.

En simplifiant :

$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{4}$ et $x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{4}$.

$\circ\quad$ Factorisation

Théorème : Si $\Delta \gt 0$, on sait que le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$. Pour tout réel $x$, on a :

$ax^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2)$.

IV. Bilan

Si j'appelle $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$,